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二次函数知识点总结与典型例题

二次函数知识点总结及典型例题

一、二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。

叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法---五点法：

二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：

（2）顶点式：

（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

三、抛物线中，的作用

（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线

，故：①时，对称轴为轴所在直线；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.

（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：

①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.

四、二次函数的性质

1、二次函数的性质

函数

二次函数

图像

a0

a0

y

0x

y

0x

性质

（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；

（2）对称轴是x=，顶点坐标是

（，）；

（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；

（4）抛物线有最低点，当x=时，

y有最小值，

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

（2）对称轴是x=，顶点坐标是

（，）；

（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大

而增大；在对称轴的右侧，即当x时，y随x

的增大而减小，简记左增右减；

（4）抛物线有最高点，当x=时，

y有最大值，

五、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当0时，图像与x轴有两个交点；

当=0时，图像与x轴有一个交点；

当0时，图像与x轴没有交点。

补充：函数平移规律：左加右减、上加下减

六、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；

若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，

如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；

如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

典型例题

1.已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

2.如图为抛物线的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）

A．a＋b=－1B．a－b=－1C．b2a

3.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（）.

4.如图，已知二次函数的图象经过点（－1，0），（1，－2），当随的增大而增大时，的取值范围是．

（

（1,-2）

-1

5.在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．

A．B．

C．D．

6.已知二次函数的图像如图，其对称轴，给出下列结果①②③④⑤，则正确的结论是（）

A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤

7．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：

x

…

－2

－1

0

1

2

…

y

…

0

4

6

6

4

…

从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）

①抛物线与轴的一个交点为（3,0）；②函数的最大值为6；

③抛物线的对称轴是；④在对称轴左侧，随增大而增大．

8.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．

(1)求△OAB的面积；

(2)若抛物线经过点A．

①求c的值；

②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的