第4章三角形证明 题型解读13 全等典型模型：线段和差之“截长补短”模型-2020-2021学年北师大版七年级数学下册.pdfVIP

《三角形证明》题型解读13全等典型模型：线段和差之“截长补短”模

型

【知识梳理】

不管是等腰三角形中的“等角对等边”，还是三角形全等性质的对应边相等，都是一条边与一条边的等量关系，

当出现“线段和或差”关系时，一般采用“截长补短”（在长边上截取一段等于其中一条短边，或延长其中一条短

边，使延长的长度等于另一短边），把“线段的和或差”转化成“一条边与一条边的等量关系”，再通过三角形全等

知识来解题。注意：有些题既可以“截长”也可以“补短”，有些题只能用其中一种.

【典型例题】

例1.已知四边形ABCD中，AB//CD，BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，求证：AB+CD=BC

解析：在“AB+CD=BC”中，AB、CD是“短”，BC是“长”.

方法（一）“截长”

①在线段BC上取一点F，使BF=BA，连接EF，如图1.

由AB=BE,∠ABE=∠FBE，BE=BE，可得△ABE≌△FBE,

∴∠A=∠BFE，

∵AB//CD，

∴∠A+∠D=180°

,∴∠BFE+∠D=180°,

∵∠BFE+∠CFE=180°,

∴∠D=∠EFC,

则由∠DCE=∠FCE,CE=CE可得△DCE≌△FCE,

∴CD=CF，

∴AB+CD=BF+CF=BC

②在线段BC上取一点F，使CF=CD，连接EF，如图1.由CF=CD,∠ECF=∠ECD，CE=CE，可得△DCE≌△FCE,∴∠D=∠

EFC，∵AB//CD，∴∠A+∠D=180°,∴∠EFC+∠A=180°,∵∠EFC+∠EFB=180°,∴∠A=∠EFB,则由∠ABE=∠

FBE,BE=BE可得△ABE≌△FBE,∴AB=BF，∴AB+CD=BF+CF=BC

D

E

A

BFC

图1

方法（二）“补短”

③分别延长BE、CD交于点F，如图2，

由AB//CF可得∠ABE=∠F，

由∠ABE=∠CBE则得∠CBE=∠F，

∴CB=CF，

∵∠CBE=∠F，∠BCE=∠FCE，CE=CE可得△BCE≌△FCE，

∴BE=EF，

∵∠AEB=∠DEF，BE=EF，∠ABE=∠F，

∴△ABE≌△DFE，

∴AB=DF，

∴BC=CF=CD+DF=CD+AB；

④分别延长BA、CE交于点F，如图3，

由CD//BF可得∠DCE=∠F，

由∠DCE=∠BCE则得∠BCE=∠F，

∴BC=BF，

∵∠BCE=∠F，∠CBE=∠FBE，BE=BE可得△CBE≌△FBE，

∴CE=EF，

∵∠AEF=∠DEC，CE=EF，∠DCE=∠F，

∴△CDE≌△FAE，

∴CD=AF，

∴BC=BF=AB+AF=AB+CD；

F

F

ED

AED

A

B

CB

C

图2图3

【提醒】：此小题在“补短”时，最好选择延长得交点，用三角形全等来证明延长的线段正好等于另一条短边，若

采用在延长线上截取一段等于另一短边的线段，则在证明过程中，很容易忽视一个证明步骤：“三点共线”.以图2

为例.当采用另一种“补短”方法，注意下面的【错误证法】：

延长线段CD到F，使DF=AB，连接EF，则由AB//CD可得∠ABE=∠F，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠F，∴BC=CF,∴

BC=CF=CD+DF=CD+AB.

以上证法中，辅助线是连接EF，即BE与EF并不一定在一条直线上，故由AB//CD不能得出∠ABE=∠F，需要补上证

明步骤，先证B、E、F三点共线,再由“角平分线+平行线=等腰△”模型得出BC=CF.

例2.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的角平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数.

A

B

DC

解析：在“AC=AB+BD”