2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题27简单三角恒等变换教师版.docVIP

专题27简单三角恒等变换

一、【知识梳理】

【考纲要求】

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．

【考点预测】

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.

(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)公式T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).

【常用结论】

1.1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2).(升幂公式)

2.1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2.(升幂公式)

3.sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α).(降幂公式)

【方法技巧】

1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.

3.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.

4.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.

5.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：

(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；

(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好.

6.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.

二、【题型归类】

【题型一】三角函数式的化简

【典例1】eq\f(2cos58°＋sin28°,cos28°)＝()

A.－eq\r(3) B.1 C.eq\r(3) D.2

【解析】原式＝eq\f(2cos（30°＋28°）＋sin28°,cos28°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos28°－\f(1,2)sin28°))＋sin28°,cos28°)

＝eq\f(\r(3)cos28°,cos28°)＝eq\r(3).

故选C.

【典例2】化简：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝________.

【解析】原式＝eq\f(\f(1,2)（4cos4x－4cos2x＋1）,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))·cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))

＝eq\f(（2cos2x－1）2,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))

＝eq\f(cos22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x)))＝eq\f(cos22x,2cos2x)＝eq\f(1,2)cos2x.

【典例3】(tan10°－eq\r(3))·eq\f(cos10°,sin50°)＝________.

【解析】原式＝eq\f(sin10°－\r(3)cos10°,cos10°)·eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(－2sin50°,sin50°)＝－2.