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协方差与相关系数解析

一、协方差与相关系数的概念及性质

对于二维随机变量，除了关心它的各个分

量的数学期望和方差外，还需要知道这两个分量

之间的相互关系，这种关系无法从各个分量的期

望和方差来说明，这就需要引进描述这两个分量

之间相互关系的数字特征——协方差及相关系数，

但如何来刻画这种关系呢？

1.问题的提出

协方差Covariance

2.定义

注：协方差取值的大小要受到量纲的影响,为了

消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后

再求协方差。

若记

**

称为X的标准化，易知EX=0，DX=1.且

3.说明

协方差的计算

离散型随机向量

其中P{X=xY=y}=pi,j=1,2,3,….

i,jij

连续型随机向量

4.协方差的计算公式

证

例：设(X,Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀

分布,求X与Y的相关系数

解x=y

D

1

5.性质——课本上没有

a.协方差的性质

b.相关系数的性质

(1)||1；

XY

(2)||=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；

XY

(3)X与Y不相关XY=0;

——课本100页定理

——课本101页定理

(3)设随机变量X与Y独立，则它们的相关

系数等于零，即ρXY=0

——课本102页推论

相关系数的意义

若Y与X有严格线性关系;

若=0，Y与X无线性关系;

若0||1,

||的值越接近于1,Y与X的线性相关程度越高;

||的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.

注：需要指出的是:这里的不相关,指的是从线性关

系上看没有关联,并非X与Y之间没有任何关系,也许

此时还存在别的关系

注(1)不相关与相互独立的关系

相互独立不相关

独立与不相关都是随机变量之间相互联系程度

的一种反映,独立指的是X与Y没有任何关系，不相

关指的X与Y之间没有线性相关关系．

特例：若(X,Y)服从二维正态分布，则

X,Y相互独立不相关

(2)不相关的充要条件

2

例若X~N(0,1),Y=X,问X与Y是否不相关？

解因为X~N(0,1),密度函数

为偶函数,所以

于是由:

得

这说明X与Y是不相关的,但显然，X与Y是不相互独立的

例

解

三、协方差矩阵

四、相关系数矩阵

五、内容小结

协方差与相关系数的定义

协方差与相关系数的性质

a.协方差的性质

b.相关系数的性质

(1)||1；

XY

(2)||=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；

XY

(3)X与Y不相关XY=0;