全国新高考1卷地区2024届高三数学解三角形解答题分类精编精析（解析版）.docx

2024届高三数学三角函数与三角形解答题分类精编精析

【题型目录】

题型一：正弦余弦定理基本应用

题型二：解三角形中周长面积问题

题型三：解三角形中三线问题

题型四：解三角形中最值范围问题

题型五：三角函数与解三角形结合

【题型分类精编精析】：

题型一：正弦余弦定理基本应用

1.（安徽省黄山市2024届高中毕业班第二次质量检测）记的内角的对边分别为向量且.

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，求.

【解析】：（1）由得

即，化简得

由余弦定理得：，

所以

（2）法1：由题意得，则

由得

因为，所以

所以

法2：由题意得，则

由得，即

所以，，即

所以

法3：由题意得，则

由得

而，所以即

即，所以

2.（湖北省十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考）在平面四边形中，，，．

（1）求的值；

（2）若，求的长．

【解析】：（1）在中，由余弦定理可得：，

又，，，所以.

（2）由（1）知，所以，

又，所以，

所以

，

又，所以，

在中，由正弦定理可得：，得到，

所以.

3．（新疆乌鲁木齐地区2024年高三年级第三次质量监测）直线l与锐角的边AB夹角为，l的方向向量为，设，，．

（Ⅰ）计算，并由此证明；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）证明，．

【解析】：（Ⅰ）在中，，所以，

因为，所以，

由题意得，

即；

（Ⅱ）因为．

所以当时，，

即，得，当时，，

，化简得．

题型二：解三角形中周长面积问题

1.（湖南省2024届高三“一起考”大联考）在中，内角的对边分别为，且．

（1）证明：是锐角三角形；

（2）若，求的面积．

【解析】：（1）证明：因为，

所以由正弦定理得，整理得．

则，因为，所以，

因为，所以，因为，

所以，所以是锐角三角形．

（2）因为，所以，

所以．

在中，由正弦定理得，即，所以，

所以的面积为．

2．(湖南省常德市2024年高三模拟考试)在中，内角,,的对边分别为,,，且．

(1)求角；

(2)若,,成等差数列，且的面积为，求的周长．

【解析】：(1)由正弦定理，

由余弦定理

又，

(2)由,,成等差数列，①

的面积为，，即②

由(1)③

由①②③解得：

，故的周长为15

题型三：解三角形中三线问题

1.（江西省新余市2023-2024学年高三年级第二次模拟考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积.

（1）求角B；

（2）若的平分线交于点D，，，求的长.

【解析】：（1）在中，，而，

即，，

由余弦定理得，所以.

（2）在中，由等面积法得，

即，

即

所以.

2．（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟）

在中，内角的对边分别为．

（1）求；

（2）若为的中线，且，求的面积．

【解析】：（1）由，得，

又，可知，所以，

结合，可得，

所以．

（2）由（1）知，

因为为的中线，，所以，

两边平方得．

又，即，

两式相减，得，

所以．

3.(湘豫名校联考2024年下学期高三第一次模拟考试)在中,角的对边分别为且.

(1)求角;

(2)若的平分线交BC于点,求AD的长.

【解析】：(1)因为,

所以,

即

由正弦定理得,又由余弦定理,可得

因为,所以

(2)在中,由等面积法得,

即,

即

所以

4．（黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期三模联考）已知的内角A，B，C的对边分别为的面积为．

（1）求；

（2）若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD.

【解析】：（1）依题意，，

所以，

由正弦定理可得，，

由余弦定理，，解得，

因为，所以；

（2）依题意，，

因为，解得，

因为，

所以，

所以．

题型四：解三角形中最值范围问题

1.（江苏省泰州市2024届高三联考）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知.

(1)求角A的大小；

(2)若，求面积S的取值范围.

【解析】：（1）因为，

所以，

整理得，

所以，

又，所以.

（2）因为为锐角三角形，

所以，解得，

所以，

由正弦定理可得，

则，

因为，所以，

所以，即面积S的取值范围为.

2．（河北省保定市2024届高三年级联考）在中，角，，的对边分别为，，，若.

(1)求角的大小；

(2)若为上一点，，，求的最小值.

【解析】：（1）依题意，，

由正弦定理得，

，所以，

所以是钝角，所以.

（2），

，所以，

即，

所以，

当且仅当时等号成立.

题型五：三角函数与解三角形结合

1.（2024届河北省承德市部分高中二模）已知函数的最小正周期为.

（1）求在上的单调递增区间；

（2）在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围.

【解析】：（1）

.

因为所以

故.

由

解得

当时

又