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解密03函数及其性质
考点热度★★★★★
内容索引
核心考点1函数的定义域与值域
核心考点2分段函数
核心考点3函数的图象
核心考点4函数的性质
核心考点5指数函数、对数函数、幂函数
高考考点
三年高考探源
预测
函数的定义域与值域
从近三年的考查情况来看,本节是高考中的一个热点,常以基本初等函数为载体,与不等式结合考查函数的定义域、值域、解析式的求法,尤其对分段函数的求值、求参问题考查频率较高;常考查求函数的单调区间,判断函数的单调性,利用单调性比较大小、解不等式等;函数的奇偶性以理解和会用为主,常与函数的单调性、周期性交汇命题,加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识;主要考查函数图像的识别以及函数图像的应用,如利用函数图像解函数零点问题、解不等式问题、求参数的取值范围问题等,一般以选择题和填空题的形式出现,也有解答题,难度中等。
分段函数
函数的图象
2019课标全国Ⅰ5
函数的性质
2021全国甲卷理12
2021全国甲卷文12
2021全国乙卷理4
2021全国乙卷文9
2020课标全国Ⅰ8
2020课标全国Ⅱ10
2020课标全国Ⅲ10
2019课标全国Ⅲ12
指数函数、对数函数、幂函数
2021全国乙卷理12
核心考点一函数的定义域与值域
考法函数的定义域与值域
变式一求函数的定义域
1、(2021·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中)函数的定义域为()
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】二次根式,被开方数大于等于0且分母不为0,列出不等式组,求出答案.
【详解】
由题意得:,解得:且,故定义域为
故选:D
2、(2021·陕西·西安市第二十六中学高一月考)函数的定义域为()
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】要使函数有意义,则有,解出即可.
【详解】要使函数有意义,则有,解得且
所以其定义域为
故选:B
☆技巧点拨☆
求函数的定义域
求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式,分式中的分母不为零,偶次方根中的被开方数非负,对数的真数大于零.解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组),求解即可.确定条件时应先看整体,后看部分,约束条件一个也不能少.
对于抽象函数,
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.
变式二求函数的值域
1、(2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期中)函数的值域为()
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先求出函数的值域,再要注意,进而可以求解.
【详解】解:令,
当时,,又,
所以,,即
所以,
故选:D.
2、(2021·河南·范县第一中学高一月考)函数的值域是()
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据函数值域的求法先将分式分离常数后化求解.
【详解】解:
又
,所以函数的值域为
故选:A
☆技巧点拨☆
求函数值域的常用方法
求函数的值域,应根据各个式子的不同结构特点,选择不同的方法:
①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;
②配方法:此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法.求值域时一定要注意定义域的影响;
③分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.分离常数的目的是为了减少“变量”,变换后x仅出现在分母上,这样x对函数的影响就比较清晰了;
④换元法:对于一些无理函数(如),通过换元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域;
⑤利用常见函数的值域;
⑥数形结合法:作出函数图象,找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义,在图上找出值域;
⑦单调性法;
⑧基本不等式法;
⑨判别式法;
⑩导数法.
变式三由函数的值域求参
1、(2021·陕西·西安市第二十六中学高一月考)已知函数在上的值域为,则实数m的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象和性质,结合定义域与值域的概念可以得到实数m的取值范围.
【详解】函数在[0,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,
时时,
函数的部分图象及在上的的图象如图所示.
所以为使函数在上的值域为,实数m的取值范围是,
故选:B.
核心考点二分段函数
考法分段函数
变式一求函数值
1、(2021·内蒙古呼和浩特·高三月考(文))已知函数满足:,则,当时,,则的值为()
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】先利用周期性将化为,再由结合指数和
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