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例3下列各题中，哪些p是q的充要条件？充要条件（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：xy＞0，q：x＞0，y＞0；（4）p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0（a≠0）．解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以q?p，所以p不是q的充要条件．（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p?q，所以p是q的充要条件．
例3下列各题中，哪些p是q的充要条件？充要条件（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：xy＞0，q：x＞0，y＞0；（4）p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0（a≠0）．解：（3）因为xy＞0时，x＞0，y＞0不一定成立（为什么），所以p?q，所以p不是q的充要条件．（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p?q，所以p是q的充要条件．
充要条件例4已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．证明：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．（1）充分性（p?q）：如图，作OP⊥l于点P，则OP＝d．若d＝r，在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ．在Rt△OPQ中，OQ＞OP＝r．所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切．则点P在⊙O上．设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（p?q）和必要性（q?p）即可．
充要条件例4已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．（2）必要性（q?p）：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l．因此，d＝OP＝r．设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（p?q）和必要性（q?p）即可．由（1）（2）可得，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
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