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第48讲椭圆及其性质
思维导图
知识梳理
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆,这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点.
2.椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0).
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0).
3.椭圆的几何性质
标准方程
eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)
eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0)
范围
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
对称性
关于x轴,y轴对称,关于原点中心对称
顶点坐标
(a,0),(-a,0),
(0,b),(0,-b)
(b,0),(-b,0),
(0,a),(0,-a)
焦点坐标
(c,0),(-c,0)
(0,c),(0,-c)
半轴长
长半轴长为a,短半轴长为b,a>b
离心率
e=eq\f(c,a)
a,b,c的关系
a2=b2+c2
题型归纳
题型1椭圆的定义及其应用
【例1-1】已知F1(﹣3,0),F2(3,0)动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则动点M的轨迹方程.
【分析】依据动点M满足的条件及椭圆的定义可得:动点M的轨迹是:以F1,F2为焦点的椭圆,即可得出结论.
【解答】解:根据椭圆的定义知,到两定点F1,F2的距离之和为10>|F1F2|=6,
动点M的轨迹是:以F1,F2为焦点的椭圆,且a=5,c=3,b=4,
∴动点M的轨迹方程是=1.
故答案为=1.
【例1-2】设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.
【分析】设M(m,n),m,n>0,求得椭圆的a,b,c,e,由于M为C上一点且在第一象限,可得|MF1|>|MF2|,
△MF1F2为等腰三角形,可能|MF1|=2c或|MF2|=2c,运用椭圆的焦半径公式,可得所求点的坐标.
【解答】解:设M(m,n),m,n>0,椭圆C:+=1的a=6,b=2,c=4,
e==,
由于M为C上一点且在第一象限,可得|MF1|>|MF2|,
△MF1F2为等腰三角形,可能|MF1|=2c或|MF2|=2c,
即有6+m=8,即m=3,n=;
6﹣m=8,即m=﹣3<0,舍去.
可得M(3,).
故答案为:(3,).
【跟踪训练1-1】已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,﹣4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是()
A.(x≠0) B.(x≠0)
C.(x≠0) D.(x≠0)
【分析】根据三角形的周长和定点,得到点A到两个定点的距离之和等于定值,得到点A的轨迹是椭圆,椭圆的焦点在y轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点.
【解答】解:∵△ABC的周长为20,顶点B(0,﹣4),C(0,4),
∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12,
∵12>8
∴点A到两个定点的距离之和等于定值,
∴点A的轨迹是椭圆,
∵a=6,c=4
∴b2=20,
∴椭圆的方程是
故选:B.
【跟踪训练1-2】已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离为.
【分析】椭圆的长轴长为10,根据椭圆的定义,利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3,即可得到P到另一个焦点的距离.
【解答】解:椭圆的长轴长为10
根据椭圆的定义,∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3
∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7
故答案为:7
【名师指导】
椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求其面积等.
题型2椭圆的标准方程
【例2-1】如图,已知椭圆C的中心为原点O,为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=4,则椭圆C的标准方程为.
【分析】设椭圆的方程为(a>b>0),由题可知,c=,根据|OP|=|OF|且|PF|=4可求出点P的坐标,将其代入椭圆方程,并结合a2=b2+c2解出a2和b2的值即可.
【解答】解:由题可知,c=,
过点P作PM垂直x轴于M,设|OM|=t,则|FM|=﹣t,
由勾股定理知,|PM|2=|OP|2﹣|OM|2=|PF|2﹣|FM|2,即,解得,
∴,
∴点P的坐标为(﹣,),
设椭
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