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试卷第=page11页，共=sectionpages33页
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仁寿实验中学2022级高一数竞班国庆测试卷
一、填空题(本题共8小题，每题8分，共64分)
1．已知，集合，则集合A中所有元素的和为____________.
2．已知，为锐角，且，则____．
3．已知P是内部一点，记、、的面积分别为、、，则________.
4．定义在上的函数，对任意的正整数，都有，且，若对任意的正整数，有，则___________.
5．已知，，，则__________．
6．已知函数，对任意，恒有.则实数的取值范围是______.
7．函数的最大值为__________.
8．记[x]为不超过实数x的最大整数.若，则A除以50的余数为____________.
二、解答题(第9题16分，10,11题20分，共56分)
9．在中，三内角A、B、C满足，求的最小值．
10．设，记，，求集合.
11．设函数满足：
（1）对于任意的都有；
（2）对任意的，都有.令.
证明：.
答案第=page11页，共=sectionpages22页
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参考答案：
1．4
【详解】将方程f(f(x)=0化为f(x2-2x)=0，即，
所以.
解得.
所以，A中所有元素的和为4.
故答案为：4．
2．
【详解】由已知得
.
因为，所以，.
3．
【分析】延长到,使得;延长到,使得,构造出,根据线段关系及三角形面积公式即可求得面积比.
【详解】延长到,使得;延长到,使得,如下图所示:
则可化为
所以为的重心
设
则
所以
故答案为:
【点睛】本题考查了向量加法法则的应用,三角形面积的表示方法,需要构造三角形解决问题,属于中档题.
4．
【分析】根据条件求出的表达式，利用等比数列的定义即可证明为等比数列，即可求出通项公式．
【详解】令，得，则，，
令，得，则，，
令，得，即，
则，
即
所以，数列是等比数列，公比，首项．
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查等比数列的判断和证明，综合性较强，考查学生的计算能力，属于难题．
5．
【详解】记，，且.
则
.
，
6．
【分析】根据二次函数的单调性，分当，讨论转化，利用反函数的性质和数形结合思想可将对任意，恒有等价转化为对任意，恒成立，进而利用二次不等式恒成立的条件，由判别式小于零求得的取值范围.
【详解】当时，设在上的反函数为,f(x)单调递增，∴单调递增，
等价于,由函数图像可得这等价于;
当时，设在(上的反函数为,单调递减，∴单调递减，
等价于,由函数图像可得无公共定义域.
对任意，恒有，等价于恒成立，
∴,即对任意恒成立，
∴,,解得.
故答案为：.
7．5
【详解】，令，
则P在抛物线上，所以
8．40
【分析】根据均不是整数，利用放缩法分析出，结合二项式定理得A除以50的余数.
【详解】注意到均不是整数.
按定义，
所以对任意正整数k均有
.
从而.
故答案为：40
【点睛】此题考查数论相关知识点，涉及同余问题结合二项式定理处理，需要熟练掌握初等数论相关知识.
9．
【详解】由，得：
，
所以．由正余弦定理，得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
10．
【详解】定义数列满足，.
首先，由，得.
于是，.
其次，由，
得.
若，则当时，有.
从而.
1.当时，，.
假设，则.
由数学归纳法，知对任意的有.
2.当时，，.
故.
假设，则
于是，.
由数学归纳法，知对任意的有.
故.
因此.
综上，.
11．
【详解】取.
所以.
故是上的增函数.
设.则
显然，.
于是，，即.
因此，.
从而，，，，
，.
故是以3为公比，6为首项的等比数列.
又.
则.
注意到，.
则，.
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