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安徽省淮北市、宿州市2023-2024学年高三下学期联考数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图,抛物线:的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点,若直线与以为圆心,线段(为坐标原点)长为半径的圆交于,两点,则关于值的说法正确的是()
A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不确定
2.已知是偶函数,在上单调递减,,则的解集是
A. B.
C. D.
3.命题“”的否定为()
A. B.
C. D.
4.已知正项等比数列中,存在两项,使得,,则的最小值是()
A. B. C. D.
5.已知平面向量满足,且,则所夹的锐角为()
A. B. C. D.0
6.已知命题,;命题若,则,下列命题为真命题的是()
A. B. C. D.
7.甲乙两人有三个不同的学习小组,,可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为()
A.B.C.D.
8.在中,为上异于,的任一点,为的中点,若,则等于()
A. B. C. D.
9.已知直线与圆有公共点,则的最大值为()
A.4 B. C. D.
10.抛物线的焦点为,点是上一点,,则()
A. B. C. D.
11.已知集合,,则
A. B. C. D.
12.已知直线:与圆:交于,两点,与平行的直线与圆交于,两点,且与的面积相等,给出下列直线:①,②,③,④.其中满足条件的所有直线的编号有()
A.①② B.①④ C.②③ D.①②④
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.某高校组织学生辩论赛,六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则所剩数据的平均数与中位数的差为______.
14.的展开式中所有项的系数和为______,常数项为______.
15.已知椭圆,,若椭圆上存在点使得为等边三角形(为原点),则椭圆的离心率为_________.
16.在正方体中,已知点在直线上运动,则下列四个命题中:①三棱锥的体积不变;②;③当为中点时,二面角的余弦值为;④若正方体的棱长为2,则的最小值为;其中说法正确的是____________(写出所有说法正确的编号)
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设数列的前n项和满足,,,
(1)证明:数列是等差数列,并求其通项公式﹔
(2)设,求证:.
18.(12分)已知函数在上的最大值为3.
(1)求的值及函数的单调递增区间;
(2)若锐角中角所对的边分别为,且,求的取值范围.
19.(12分)如图,在四棱锥中,,,,和均为边长为的等边三角形.
(1)求证:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
20.(12分)如图,在四棱锥中,底面,,,,为的中点,是上的点.
(1)若平面,证明:平面.
(2)求二面角的余弦值.
21.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),圆的方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求和的极坐标方程;
(2)过且倾斜角为的直线与交于点,与交于另一点,若,求的取值范围.
22.(10分)在中,、、的对应边分别为、、,已知,,.
(1)求;
(2)设为中点,求的长.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
利用的坐标为,设直线的方程为,然后联立方程得,最后利用韦达定理求解即可
【详解】
据题意,得点的坐标为.设直线的方程为,点,的坐标分别为,.讨论:当时,;当时,据,得,所以,所以.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的相交问题,解题核心在于联立直线与抛物线的方程,属于基础题
2、D
【解析】
先由是偶函数,得到关于直线对称;进而得出单调性,再分别讨论和,即可求出结果.
【详解】
因为是偶函数,所以关于直线对称;
因此,由得;
又在上单调递减,则在上单调递增;
所以,当即时,由得,所以,
解得;
当即时,由得,所以,
解得;
因此,的解集是.
【点睛】
本题主要考查由函数的性质解对应不等式,熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可
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