2025届高考数学一轮复习专项练习高考大题专项四立体几何.docVIP

高考大题专项(四)立体几何

1.

如图,点C是以AB为直径的圆O上异于A,B的一点,直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直,且DE∥BC,DC⊥BC,DE=12BC=2,AC=CD=3

(1)证明:EO∥平面ACD;

(2)求点E到平面ABD的距离.

2.

如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PAD,AD∥BC,AB=BC=AP=12AD,∠ADP=30°,∠BAD=90°

(1)证明:PD⊥PB;

(2)设点M在线段PC上,且PM=13PC,若△MBC的面积为273,求四棱锥

3.

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.

(1)证明:点C1在平面AEF内;

(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.

4.如图,在三棱锥P-ABC中,底面是边长为4的正三角形,PA=2,PA⊥平面ABC,点E,F分别为AC,PC的中点.

(1)求证:平面BEF⊥平面PAC;

(2)在线段PB上是否存在点G,使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为155?若存在,确定点G的位置;若不存在,请说明理由

5.

《九章算术》是我国古代数学名著,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC.

(1)求证:四棱锥B-A1ACC1为阳马;

(2)若C1C=BC=2,当鳖臑C1-ABC体积最大时,求平面A1BC与平面A1BC1的夹角的余弦值.

6.已知三棱锥P-ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形ABCD为边长等于2的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥P-ABC中:

(1)证明:平面PAC⊥平面ABC;

(2)若点M在棱PA上运动,当直线BM与平面PAC所成的角最大时,求二面角P-BC-M的余弦值.

7.如图1,已知四边形BCDE为直角梯形,∠B=90°,BE∥CD,且BE=2CD=2BC=2,A为BE的中点,将△EDA沿AD折到△PDA位置(如图2),连接PC,PB构成一个四棱锥P-ABCD.

(1)求证:AD⊥PB;

(2)若PA⊥平面ABCD.

①求二面角B-PC-D的大小;

②在棱PC上存在点M,满足PM=λPC(0≤λ≤1),使得直线AM与平面PBC所成的角为45°,求λ的值.

8.

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°.

(1)求证:直线BD⊥平面PAC;

(2)求直线PB与平面PAD所成角的正切值;

(3)设点M在线段PC上,且平面MBC与平面MBA夹角的余弦值为57,求点M到底面ABCD的距离

9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=22,C1H⊥平面AA1B1B,且C1H=5.

(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;

(2)求二面角A-A1C1-B1的正弦值;

(3)设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN⊥平面A1B1C1,求线段BM的长.

10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=AC=2,AD=22,PB=2,PB⊥AC.

(1)求证:平面PAB⊥平面PAC;

(2)若∠PBA=45°,试判断棱PA上是否存在与点P,A不重合的点E,使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为69,若存在,求出AEAP的值;若不存在,

参考答案

高考大题专项(四)立体几何

1.

(1)证明取BC的中点M,连接OM,ME.在△ABC中,O是AB的中点,M是BC的中点,∴OM∥AC,AC?平面EMO,MO?平面EMO,故AC∥平面MEO.

在直角梯形BCDE中,DE∥CB,且DE=CM,

∴四边形MCDE是平行四边形,

∴EM∥CD,同理CD∥平面EMO.

又CD∩AC=C,故平面EMO∥平面ACD,又∵EO?平面EMO,∴EO∥平面ACD.

(2)∵AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的一点,∴AC⊥BC.

又∵平面BCDE⊥平面ABC,平面BCDE∩平面ABC=BC,

∴AC⊥平面BCDE,

可得AC是三棱锥A-BDE的高.在直角梯形BCDE中,S△BDE=12DE×CD=12×2×3=3.设E到平面ABD的距离为h,则VE-ABD=VA-EBD,即13S△ABD·h=13S

由已知得AB=5,BD=5,AD=32,

由余弦定理可得cos∠ABD=1625,则sin∠ABD=34125,则S△ABD=12AB·BDsin∠ABD=3412.解得h=6

2.(1)证明∵平面ABCD⊥平面PAD,∠BAD