一阶线性非齐次微分方程求解方法归类.docxVIP

、线性方程

方程

叫做一阶线性微分方程（因为它对于未知函数及其导数均为一次的）。

如果，则方程称为齐次的；如果不恒等于零，则方程称为非齐次的。

a）首先，我们讨论1式所对应的齐次方程

的通解问题。

分离变量得

两边积分得

其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数换成的未知函数，即作变换

两边乘以得

两边求导得

代入方程1得

于是得到非齐次线性方程1的通解

将它写成两项之和

例1】求方程

的通解。

解:

由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需

套用公式。

以下几类为一阶微分方程的简捷求法

1预备知识

dyP(x)yQ(x)

的方程称为一阶线性方程 .这里P(x)、Q(x)在所考虑的区间上是连续的 .当Q(x)0时,

方程(1)变为dyP(x)

方程(1)变为

方程(1)(Q(x) 0)称为一阶非齐次线性方程，而方程⑵称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解，方程(2)可用分离变量法求解.

—P(x)yQ(x)yn (n0,1)

dx

⑶

的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解.

现提出几类一阶微分方程，并用简洁方法进行求解.

2主要结果

定理1若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式

Fn(唸 Fn(x「yQ(x)

则它的通解为1

则它的通解为

y帀Q(x)dxC

证明将方程⑷化为

￥yQ(x)

dx

两边积分得

Fn(x)dy

dFn(x)yQ(x)dx

dFn(x)gy

Q(x)dx

Fn(x)gy

Q(x)dxC

Q(x)dxC

毕.

推论

1若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式

F(唸

F(x)y

Q(x)

的通解为

F(x)Q(x)dx

⑺

定理

2若一阶齐次线性微分方程具有如下形式

Fn(唸

Fn(x)

(8)

则它的通解为

C

Fn(x)

(9)

证明

1

在定理1的结果y Q(x)dxC中,取Q(x)

Fn(x)

0便可得证.

推论

若一阶齐次线性微分方程具有如下形式

F(x燈F(x)y0

(10)

通解为

yF(x)

(11)

定理

若一阶微分方程具有如下形式

业P(x)ylnF(y)Q(x)ylnndx

F(y)

(12)

1时，其通解为

dIny?、

InF(y)x

P(x)dxC

(13)

当n 1时,其通解为

其中InF(y)在所考虑区间上是连续的

证明若n1 ,方程(12)变为

dxP(x)yInF(y)

Q(x)ylnF(y)

(15)此方程为可分离变量的微分方程.分离变量得

dy

yInF(y)

Q(x)

P(x)dx

两边积分得

此即为方程(15)的通解表达式.

dIny

InF(y)

dIny

InF(y)

Q(x)

Q(x)

若n1,方程(12)两端同除以yInnF(y)得

1dy

yInnF(y)dx

P(x)dx

P(x)dxC

令zIn1nF(y),则

定理3若一阶微分方程具有如下形式

F(唸F

(x)yQ(x)yn

(n0,1)

(12)

则它的通解为

Q(x)dxC

证明将方程(12)化为

F(唸

譽Q(x)yn

dx

dF(x)gy ynQ(x)dx

方程两端除以yn,得到

ynF(x)dy Q(x)

dxdx

F-gdy1 dF(x)y1Q(x)

ndx

dx

令zy1n，则(1n)y卑

空，代入上式，得到关于变量z的一阶线性方程

dx

Fn(x)dzdFn(x)

dx

dxzQ(x)

两边积分得

Fn(x)dz(1

n)dFn(x)z(1n)Q(x)dx

Fn(x)gy

Fn(x)gy

定理3若一阶线性微分方程具有如下形式

Fn(唸

则它的通解为

证明将方程(12)化为

Fn(唸

Q(x)dx

Q(x)dxC

Q(x)dxC

Fn(x)y

Q(x)yn

(n0,1)

(12)

1

丽Q(x)dxC

方程两端除以yn,得到

dFn(x)y

dx

Q(x)yn

dFn(x)

dx

y1nQ(x)

Fn(x)dy1n d

1ndx

nQ(x)

令zyi,则(1n)yndy竺，代入上式，得到关于变量z的一阶线性方程dxdx

Fn(x)dzd『(x)

zQ(x)

1ndxdx

Fn(x)dz(1n)dFn(x)z(1n)Q(x)dx

dFn(x)gyQ(x)dx

两边积分得F

两边积分得

Fn(x)gyQ(x)dx