小题压轴题专练14—向量（最值问题2）-2022届高三数学一轮复习.docVIP

小题压轴题专练14—向量（最值问题2）

一．单选题

1．正方形ABCD的边长为4，中心为O．过O的直线l与边AB，CD分别交于点M，N，点P满足条件：2，则的最小值为（）

A．0 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣7

2．正方形ABCD边长为4，中心为O，直线经过中心O，交AB于M，交CD于N，P的平面上一点，且，则的最小值是（）

A．﹣8 B．﹣7 C．﹣4 D．﹣3

3．已知平面向量，，满足，，，且对于任意的，恒有，若，则的取值范围为

A．， B．， C．， D．，

4．在中，，，为线段上的动点，且，则的最小值为

A． B． C． D．

5．已知向量，，，函数，若关于的方程至少有两个实数根，则实数的取值范围是

A． B．， C．， D．，

6．已知平面向量，满足，，，，则的最大值为

A． B．192 C．48 D．

7．已知是顶角为腰长为2的等腰三角形，为平面内一点，则的最小值是

A． B． C． D．

8．已知单位向量，，且，则的最小值为

A． B．5 C．7 D．

二．多选题

9．如图，点是直线上的动点，点，在直线外，点，，在直线上，则

A．有最小值

B．有最大值

C．

D．直线上有且只有一点（不同于点，使得

10．如图所示，在中，，，与交于点．过点的直线与两边、分别交于点，，设，，则

A． B．

C．可能的取值为 D．的最小值为

11．在△ABC中，BC＝2，BC边上的中线AD＝2，则下列说法正确的有（）

A．为定值 B．AC2+AB2＝12

C． D．∠BAD的最大值为30°

12．在中，，分别是，的中点，且，，则

A．面积最大值是12 B．

C．不可能是5 D．

三．填空题

13．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为．

14．已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，，则的最大值是．

15．在中，，，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是．

16．中，三边，，满足成等差数列，三角，，满足，且，若存在动点满足，且，则的最大值为．

小题压轴题专练14—向量（最值问题2）答案

1．解：如图，以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，

则B（2，﹣2），C（2，2），

∴＝λ（2，﹣2）+（1﹣λ）（2，2）＝（2，2﹣4λ），

∴＝（1，1﹣2λ）

即P点坐标为（1，1﹣2λ），

设M（a，﹣2），则N（﹣a，2），﹣2≤a≤2，

∴＝（a﹣1，2λ﹣3），＝（﹣a﹣1，2λ+1）

∴＝（a﹣1）（﹣a﹣1）+（2λ﹣3）（2λ+1）＝1﹣a2+4λ2﹣4λ﹣3，

当a＝±2且λ＝﹣＝时，有最小值﹣7．

故选：D．

2．解：如图，以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，

则B（2，﹣2），C（2，2），

∴＝λ（2，﹣2）+（1﹣λ）（2，2）＝（2，2﹣4λ），

∴＝（1，1﹣2λ）

即P点坐标为（1，1﹣2λ），

设M（a，﹣2），则N（﹣a，2），﹣2≤a≤2，

∴＝（a﹣1，2λ﹣3），＝（﹣a﹣1，2λ+1）

∴＝（a﹣1）（﹣a﹣1）+（2λ﹣3）（2λ+1）＝1﹣a2+4λ2﹣4λ﹣3，

当a＝±2且λ＝﹣＝时，有最小值﹣7．

故选：B．

3．解：设，则点在直线上运动，

所以，过点作直线的垂线，垂足为，

则，结合题意有，即，点重合，即，

又因为，不妨设，

，设，

因为，所以，即，

又即，

则，

令，则，

根据三角函数的有界性以及辅助角公式可得，解得，

所以．

故选：．

4．解：，由正弦定理可得，，

再由余弦定理可得，，整理得，即，

又，

，即，得，

，得，从而．

以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

可得，，，，

为线段上的一点，则存在实数使得，，，

设，，，，，

由，，，，

得，，则，

求的最小值，则，均不为0，

则．

当且仅当时等号成立．

故选：．

5．解：向量，，，

函数，

，，

当，时，．

时，，可得在上为奇函数，

当时，，

所以，在上单调递增，在上单调递减，

且（1），当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

且，当时，，

作出的大致图象，如图所示：

直线恒过定点，

当直线经过点时，斜率，

因为关于的方程至少有两个实数根，

故方程至少有2个实数根，所以函数的图象与直线至少2个交点，

结合图象可知且，

故选：．

6．解：如图所示，作，，，取的中点，连接，

以点为圆心，为半径作圆，

，，因为，所以，

所以为等边三角形，

因为为的中点，，所以的底边上的高为，

，，

所以，

所以

，

由圆的几何性质可知，当，，三点共线且为线段上的点时，

的面积取得最大值，此时的底边上的高取最大值，

即，，

因此的最