小题压轴题专练20—立体几何（二面角1）-2022届高三数学一轮复习.docVIP

小题压轴题专练20—立体几何（二面角1）

一．单选题

1．斜三棱柱中，底面是正三角形，侧面是矩形，是线段上的动点，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则

A．， B．， C．， D．，

2．《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．在堑堵中，，，平面与平面所成的锐二面角为，则阳马外接球的直径长为

A． B． C． D．

3．在三棱锥中，面面，，，，是的中点．设，若，，则二面角的余弦值的范围为

A． B． C． D．

4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑nào．如图，在鳖臑中，面，，，，则下列选项中，不正确的是

A．面面

B．二面角的余弦值为

C．与面所成角为

D．三棱锥外接球的表面积为

5．直角中，，为边上一点，沿将折起，使点在平面内的正投影恰好在上，若，则二面角的余弦值是

A． B． C． D．

6．已知四面体中，棱，所在直线所成角为，且，，，面和面所成的锐二面角为，面和面所成的锐二面角为，当四面体的体积取得最大值时

A． B． C． D．不能确定

7．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是

A． B． C． D．

8．将边长为1的正方形沿对角线翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点，分别是线段和上的动点，则的取值范围为

A．， B． C． D．

二．多选题

9．如图，在直三棱柱中，，点是棱的中点，则下列说法正确的是

A．异面直线与所成的角为

B．在上存在点，使平面

C．二面角的大小为

D．

10．在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是

A．异面直线与所成的角大小为

B．四面体的每个面都是直角三角形

C．二面角的大小为

D．正方体的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为

11．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上两点，且的长为定值，则下面四个值中是定值的为

A．三棱锥的体积 B．直线与所成的角

C．直线与平面所成的角 D．二面角的余弦值

12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面个正方形、八个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则

A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2

B．它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直

C．它的体积为

D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等

三．填空题

13．已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角为钝二面角，且折后所得四面体外接球的表面积为，则二面角的余弦值为．

14．在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为

15．若四棱锥的侧面内有一动点，已知到底面的距离与到点的距离之比为正常数，且动点的轨迹是抛物线，则当二面角平面角的大小为时，的值为．

16．如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，是线段，上的点，平面与平面所成（锐二面角为，当最小时，．

小题压轴题专练20—立体几何（二面角1）答案

1．解：斜三棱柱中，底面是正三角形，侧面是矩形，是线段上的动点，

记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，

由最小角定理（线面角是最小的线线角）得，

由最大角定理（二面角是最大的线面角）得，

，．

故选：．

2．解：如图，

在直三棱柱中，，则，

又，且，平面．

可得，则为平面与平面所成的锐二面角为，

在△中，，，则．

则，在中，，，则．

由，，，得平面，则．

取中点，在△、△与中，可得到四棱锥的顶点相等．

即为四棱锥外接球的球心，外接球的直径为．

故选：．

3．解：如图，

由面面，面面，，

得平面，又，

以为坐标原点，过作平行于的直线为轴，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系．

设，由，得，则．

，，，，，，，0，，，，．

，，，，，，，，，

设平面的一个法向量为，

由，取，得；

设平面的一个法向量为，

由，取，得．

由图可知，二面角的平面角为锐角，

则二面角的余弦值为

．

，，

则二面角的余弦值范围为，．

故选：．

4．解：，，，

，，

可得，，

则有，．

对于，面，又，，面面，故正确；

对于，面，，，就是二面角的平面角，

二面角的余弦值为，故正确；

对于，面，与面所成角为，故正确；

对于，取的中点为，则，所以三