小题压轴题专练38—抛物线2—2022届高三数学一轮复习.docVIP

小题压轴题专练38—抛物线2

一．单选题

1．已知椭圆上存在两点M、N关于直线y＝﹣x+t对称，且MN的中点在抛物线y2＝x上，则实数t的值为（）

A．0 B．2 C．0或2 D．0或6

2．已知抛物线，为焦点，直线过焦点与抛物线交于，两点，为原点，的面积为，且，则

A．2 B．4 C．6 D．8

3．已知抛物线的焦点为点，点，抛物线上点满足，为坐标原点，则的长等于

A．1 B． C．2 D．

4．斜率为的直线与抛物线相交于，两点，与圆相切于点，且为线段的中点，则

A． B． C． D．

5．已知为抛物线上一点，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为

A． B． C． D．

6．给定抛物线，是其焦点，直线，它与相交于，两点，如果且，那么的取值范围是

A． B．

C． D．

7．已知点在抛物线上，直线交抛物线于点、，且直线与都是圆的切线，则直线的方程为

A． B． C． D．

8．已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，为抛物线的焦点，若，为坐标原点，则四边形的面积是

A． B． C． D．

二．多选题

9．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为，则下列说法正确的是

A．的最大值为

B．若点，则的最小值为5

C．无论过点的直线在什么位置，总有

D．若点在抛物线准线上的射影为，则、、三点共线

10．抛物线的焦点为，是其上一动点，点，直线与抛物线相交于，两点，下列结论不正确的是

A．的最小值是2

B．动点到点的距离最小值为3

C．存在直线，使得，两点关于直线对称

D．与抛物线分别相切于、两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上

11．直线与抛物线交于，两点在的上方），为抛物线的焦点，行为坐标原点，的面积是面积的2倍，以为直径的圆与直线相切，切点为．则下列说法正确的是

A． B．的面积为

C．的值为 D．

12．在平面直角坐标系中，已知抛物线，若过焦点的直线交抛物线于两点，，，，则下列说法中正确的是

A． B．

C．的最大值为 D．

三．填空题

13．设抛物线的焦点为，直线与交于，，若，则，．

14．以抛物线上两点，为直径的圆与轴相切于点，与轴相交于，两点，直线交轴于，则的最大值是．

15．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点（其中点在轴上方），则．

16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若．则．

小题压轴题专练38—抛物线2

1．解：设M（x1，y1），N（x2，y2），且x1≠x2，MN的中点为E（x0，y0），

则，由点差法可得，

则，

因为，代入可得，由M，N两点关于直线y＝﹣x+t对称，

可得kMN＝1，所以，又因为y0＝﹣x0+t，所以x0＝2t，x0＝﹣t，

代入抛物线y2＝x，即（﹣t）2＝2t，解得t＝0或t＝2，

当t＝2时，y＝﹣x+2与椭圆相离，不符合题意，

故t＝0．

故选：A．

2．解：抛物线的准线方程，如图所示，

作于，作于，作于，

设，则，，所以，则，，

故，所以直线的方程，

因为，且，

所以，解得，

故选：．

3．解：由题得抛物线准线为，

如图，不妨设位于第一象限，作垂直准线，，，

因为，即，

所以，

则，

故选：．

4．解：设，，，，，，

斜率存在时，设斜率为，则，，

相减得，

当的斜率存在时，利用点差法可得，

因为直线与圆相切，所以，所以，

即的轨迹是直线．故

由，可得，

故选：．

5．解：由题可得抛物线焦点，准线方程为，

过点作与准线垂直，交于点，

直线整理得，

联立可得，即该直线过定点，

设，连接，取中点，则，，

若，则在以为直径的圆上，该圆方程为，

又由，得，

如图，的最小值为圆上的点到准线的距离的最小值，

过点作与准线垂直并交于点，与圆交于点，与抛物线交于点’，

则即为的最小值，

即的最小值为．

故选：．

6．解：设，，，，

抛物线，是其焦点，可得，

由，可得，，，

，

由②得，

由，，③，

联立①③解得，

依题意知，

，或，

又，

则直线的斜率或，，

由，可知在，上是递减的，

，，

则的取值范围是，，．

故选：．

7．解：由点在抛物线上，得，

抛物线方程为：；

圆可化为，可知圆的圆心为点，半径．

设过点且与圆相切的直线的方程为，即，

则，，得，

不妨设直线的方程为，

联立，得，

设，，则，，

同理，设，，则，因此，

，

直线的斜率，

直线的方程为，

即，

直线的方程为，

故选：．

8．解：抛物线的准线方程为，设，，，，

过点作准线的垂线，由抛物线的定义可知，，

，不妨，

设直线的方程为，由，

得，，，

四边形的面积，

故选：．

9．解：对于，设直线的方程为，

与抛物线的方程联立，可得