导数在研究函数中的应用 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docxVIP

高二数学

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导数在研究函数中的应用

一、函数的单调性

1.函数的单调性与导函数的关系：

问题1：图1是跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数

的图象,图2是跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象,,是函数的零点.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学角度刻画这种区别？

图1图2

问题2：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系。

一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，

（1）如果，则f(x)在这个区间内单调递增；

（2）如果，则f(x)在这个区间内单调递减．

方法总结

利用导数判断函数的单调性的一般步骤：

（1）确定函数y＝f(x)的定义域；

（2）求导数y′＝f′(x)的零点；

（3）用的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出在各个区间上的正负，由此得出函数函数y＝f(x)在定义域内的单调性。

特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．

②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.

2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系：

一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上

函数值变化

函数的图象

越大

快

比较“陡峭”(向上或向下)

越小

慢

比较“平缓”(向上或向下)

【例1】利用导数判断下列函数的单调性

（1）

（2）

（3）

【例2】已知函数

（1）求函数在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间．

【练习1】判断下列函数的单调性

（2）

【练习2】求函数的单调区间

【练习3】判断下列函数的单调性，并求出单调区间

（1）（2）

【例3】已知导函数的下列信息：

①当时，；

②当或时，；

③当或时，，

试画出函数图象的大致形状.

【练习4】已知函数的导函数有下列信息：

①时，；②时，或；

③时，或．

则函数的大致图像是图中的（）．

A．B．C．D．

【例4】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为()

【例5】已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是()

【练习5】已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中是函数的图象的是（）

A．B．C．D．

【练习6】已知函数的导数的图象如图,那么函数的图象最有可能是 ()

B.C. D.

二、函数的极值与最大（小）值

1.函数的极值

问题1：观察图，我们发现，当时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变换规律？

可以看出，；

当时，函数单调，；当时，函数QUOTEh??单调，QUOTE???0．

这就是说，在附近，函数值先（当QUOTE????时，QUOTE???0）后（当QUOTE????时，QUOTE???0）．

这样，当在附近从小到大经过QUOTE??时，先后，且QUOTE???连续变化，于是有QUOTE???=0．

问题2：观察下图，函数y=f(x)在x=a，b，c，d，e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律？

以x=a，b两点为例，可以发现，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都______，f(a)___0；而且在点x=a附近的左側f(x)____0，右侧f(x)____0.

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都____，f(b)___0；而且在点x=b附近的左侧f(x)___0，右侧f(x)___0.

我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫