小题压轴题专练21—立体几何（二面角2）—2022届高三数学一轮复习.docVIP

小题压轴题专练21—二面角2

一．单选题

1．如图在一个的二面角的棱上有两点，，线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为

A． B．2 C． D．6

2．过正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面夹角的余弦值为

A． B． C． D．

3．正方体中，点，分别为棱，上的点（不包含端点），设二面角的平面角为，若，则的取值范围为

A． B． C． D．

4．在四面体中，，，，，，则二面角的平面角的大小为

A． B． C． D．

5．所有棱长都为的正四面体的一个面与某四棱体的一个面重合后，得到一个三棱柱，则该四棱体侧面与底面所成二面角的余弦值是

A． B． C． D．

6．如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，锐二面角的平面角的余弦值是

A． B． C． D．

7．如图，在大小为的二面角中，四边形，四边形都是边长为1的正方形，则，两点间的距离是

A． B．2 C．1 D．

8．若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论错误的为

A．与平面所成角的正弦值为

B．平面与平面所成角的正切值是

C．与所成的角为

D．与所成的角为

二．多选题

9．如图所示，从一个半径为（单位：m）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥P﹣ABCD，则以下说法正确的是（）

A．四棱锥P﹣ABCD的体积是m3

B．四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积是8πm2

C．异面直线PA与CD所成角的大小为60°

D．二面角A﹣PB﹣C所成角的余弦值为

10．如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，底面，则

A．平面

B．直线与底面所成的角为

C．平面与平面夹角的余弦值为

D．点到平面的距离为

11．如图（1）是一副直角三角板．现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体，设，与面所成角分别为，在翻折的过程中，下列叙述正确的是

A．存在某个位置使得

B．若，当二面角时，则

C．当在面的射影在三角形的内部（不含边界），则

D．异面直线与所成角小于

12．已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，下列正确的是

A．

B．二面角的大小为

C．三棱锥的体积为定值

D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为

三．填空题

13．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为，，和，2，，则这个二面角的余弦值为．

14．已知，为二面角棱上不同两点，，分别在半平面，内，，，，若直线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为．

15．已知正方形的边长为4，，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点在线段上．直线与平面所成的角为，则面与面夹角余弦值为．

16．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（填序号）

①异面直线与所成角的余弦值为；

②平面；

③直线与平面所成角的正弦值为；

④二面角的余弦值为．

小题压轴题专练21—二面角2答案

1．解：因为，

所以，

因为线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，

又，，，

所以，

则．

故选：．

2．解：由题意，将几何体补形为正方体，如图所示，

则为平面与平面的交线，

因为平面，又，平面，

所以，，

则为平面与平面所成的角，

因为，，

故，则，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

故选：．

3．解：设正方体，棱长为，设，，

因为，所以为二面角的平面角，

所以，所以，则，即，所以，

所以，，

故选：．

4．解：二面角的平面角的大小等于与所成角的大小，

因为，

所以

，，

因为，，，

所以，

解得，

所以所成的角为，

故二面角的平面角的大小为．

故选：．

5．解：由题意可知，一个三棱柱可被一个平面切成一个三棱锥与一个四棱锥，

由题意可得，该四棱锥为所有棱长均为的正四棱锥，如图所示，

连接，交于点，连接，

则平面，

取的中点，连接，，

由三垂线定理可知，是侧面与底面所成的二面角的平面角，

则，，

所以，

则该四棱体侧面与底面所成二面角的余弦值是．

故选：．

6．解：过点作，且，连接，，

，

，

，，

为二面角的平面角，且平面，

，则，

，，

，

．

故选：．

7．解：依题意，，，

，

．

故选：．

8．解：取的中点，连接，，

若将正方形沿对角线折成直二面角，

则，，，

以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设，则，0，，，，，，0，，，1，，

故，

所以，

则与所成的角为，

故选项错误；

因为，

所以，

则，

所以与所成的角为，

故选项正确；

设平面的一个法向量为，

则，

令，则，

故，

又，

所以，

则与平面所成角的正弦值为，

故选项正确；

因为平