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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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2025届高考数学精准突破复习
用临界思想速解取值范围问题
【问题背景】“临界状态”一般可以认为是从一种状态向另一种状态变化过程中,发生转变时的那一“转折点”或运动状态的“极限”状态(位置).在解决具有一定制约关系的相关变量的数学问题时,常常运用“临界状态”,即研究问题中的某变量变化到某一状态时出现“转折”或者“极限”的时刻,把动态变化(或不定量)问题转化为静态问题(或定量)问题,从而达到简化运算、事半功倍的解题效果.
【解决方法】
【典例1】(2024湖南长沙一中9月开学考试)已知双曲线,F为左焦点,,分别为左、右顶点,P为C右支上的点,且(O为坐标原点).若直线PF与以线段为直径的圆相交,则C的离心率的取值范围为()
A.???????B.??????C.??????D.
【套用模型】
如图1,设双曲线的右焦点为,连接,则,则,P为C右支上的点,取PF的中点为B,连接OB,则.
图1
第一步:整体审题,根据题目的条件和设问,分析变量的变化过程(状态),确定“临界点”
根据题目的条件和设问,确定本题中有两个“临界点”.
第二步:分析变量在“临界点”附近“形”的变化形式,从而确定“临界点”及“临界值”.
若直线PF恰好与以线段为直径的圆相切于B点,
【破瓶颈】找两个临界点,直线与圆O相切和圆O经过,F,P点,这两个临界点都取不到,对应的双曲线离心率也都不能取到
则,即,根据双曲线的定义得,
又,所以,即,此时离心率为.
考虑极限情况,若以线段为直径的圆恰好经过,F,P点,则,离心率.
第三步:根据“临界值”,确定题设问题的答案.
由以上可知,直线PF与以线段为直径的圆相交,则双曲线的离心率的取值范围是,故选D.
【典例2】(2024·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测)函数恰有两个零点,则实数k的取值范围是_______.
【套用模型】
依题意可知,函数恰好有两个零点,即函数与函数的图象有两个交点,
当时,函数与函数的图象不可能有两个交点,不合题意.
第一步:整体审题,根据两个函数图象的位置关系,确定“临界点”.
由上可知,当函数与函数的图象相切时,设切点坐标为,
因为,所以,所以切线方程为,
因为切线过原点,所以.
第二步:确定“临界值”.
又,所以,,此时,
【破瓶颈】函数图象在点处的切线与函数的图象是同一直线,都经过原点,所以直线方程也是一样的
第三步:根据“临界值”,确定题设问题的答案.
所以函数与函数的图象有两个交点时,.
所以实数k的取值范围是.
【典例3】(2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模)已知函数,.若恒成立,则实数a的取值范围是_______.
【套用模型】
依题意,恒成立,即恒成立.
令,,
当时,函数和函数的图象相交,不合题意.
第一步:整体审题,根据题目的条件和设问,分析变量的变化过程,确定“临界点”.
当时,设函数的图象和函数的图象相切于点,
【指点迷津】要符合要求,则需使函数的图象不在函数的图象下方,那么临界点即两个函数的图象相切时的情形,此时函数的图象在点处的切线就是的图象
,切线方程为.
第二步:确定“临界值”.
又函数的图象是过定点的直线,将代入切线方程,
则有,得,.
第三步:根据“临界值”,确定题设问题的答案.
,故当恒成立时,实数a的取值范围是.
(2024·广东·一模)
1.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点,且,则椭圆的离心率的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
(2023·山西·一模)
2.设双曲线的左?右焦点分别为,,过作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A,已知,,点P是双曲线C右支上的动点,且恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是(????)
A. B. C. D.
(2023·吉林·二模)
3.已知函数是上的减函数,当最小时,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
(22-23高三上·浙江台州·期末)
4.已知函数若函数在恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
(22-23高三上·河南·阶段练习)
5.已知函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
(2023·北京昌平·二模)
6.已知函数,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
(2024·陕西渭南·模拟预测)
7.已知斜率为3的直线l过双曲线C的右焦点,且与C的左、右两支各有一个交点,则C的离心率的取值范围是(????)
A. B.
C.(1,3) D.
(2023·全国·模拟预测)
8.已知函数若关于的
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我是一名长期耕耘在湖南湘西地区基层高中的教师,已带过5届高三毕业班,多年的高中班主任,备课组组长,我想把我们自己制作的教学课件和高考研习心得收获分享给大家,为大家提供高考相关资料和高中各学科的自制教学课件,助力更多的孩子们一起成长!
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