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2023-2024学年度高三年级第一学期开学考试数学科
准考号:___________姓名:___________班级:____________
一、单选题
1.设集合,,(????)
A. B. C. D.
2.若复数z满足,则复数z的虚部为(????)
A.i B.-i C.1 D.-1
3.已知角的终边经过点,则(????)
A. B. C. D.
4.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务活动,则选中的2人都是女同学的方法数为(????)
A.6 B.5 C.4 D.3
5.函数在处的切线斜率为(????)
A. B. C. D.
6.在等比数列中,若,则(????)
A.8 B.6 C.4 D.3
7.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年).该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量(平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积),已知数据如图(注意:单位),则平地降雪厚度的近似值为(????)
??
A. B. C. D.
8.已知圆:,则直线:被圆截得的弦长为(????)
A. B. C. D.
二、多选题
9.下列函数中在单调递增的有(????)
A. B.
C. D.
10.下列函数是奇函数的是(????)
A. B.
C., D.
11.若,那么下列不等式一定成立的是(????)
A. B.
C. D.
12.已知,则(????)
A.是偶函数 B.的最小正周期是
C.图象的一个对称中心是 D.上单调递增
三、填空题
13.已知,,,则向量与的夹角为.
14..
15.在的展开式中,的系数为.
16.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况,具体数据如下表:
性别
专业
合计
非统计专业
统计专业
男
13
10
23
女
7
20
27
合计
20
30
50
为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到χ2=≈4.844,因为χ23.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性最大为.
附:
四、解答题
17.已知等差数列的前项和为,公比q0的等比数列的前项和为,
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若,求
18.如图,已知平面四边形存在外接圆(即对角互补),且,,.
??
(1)求的面积;
(2)若DC=DA,求的周长。
19.某中学有高一年级学生600人,高二年级学生400人参加知识竞赛,现用分层抽样的方法从中抽取100名学生,对其成绩进行统计分析.得到如下图所示的频率分布直方图.
??
(1)求从该校高一年级、高二年级学生中各抽取的人数;
(2)根据频率分布直方图,估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分(含60分)以上的人数.
20.已知双曲线的实轴长为2,右焦点为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点,,求.
21.如图,在直三棱柱中,,分别为的中点.
(1)求证:CM;
(2)求证:平面;
(3)设为上一点,且,求点到平面的距离.
22.已知函数.
(1)若是的极值点,求的值;
(2)若a=1,讨论函数的单调性;
(3)若恒成立,求a的取值范围;
参考答案:
1.C
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】依题意.
故选:C
2.C
【分析】利用复数四则运算法则计算得到,求出虚部.
【详解】因为,所以,
故,复数z的虚部为1.
故选:C
3.B
【分析】利用三角函数的定义可求得的值.
【详解】由三角函数的定义可得.
故选:B.
4.D
【分析】选中的2人都是女同学即从3名女同学中任选2人,即可得答案.
【详解】由题意可得选中的2人都是女同学的方法数为,
故选:D
5.B
【分析】利用导数的几何意义可求得所求切线的斜率.
【详解】因为,则,所以,.
因此,函数在处的切线斜率为.
故选:B.
6.B
【分析】根据等比数列的性质可得,再根据对数的运算性质即可求得答案.
【详解】在等比数列中,由,根据等比中项可得,
所以,
故选:B.
7.C
【分析】根据梯形中位线定理,结合圆台体积公式进行求解即可.
【详解】如图所示,可求得器皿中雪表面的半径为,
所以平地降雪厚度的近似值为.
故选:C
8.A
【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形计算可得答案.
【详解】圆的圆心,半径为,
圆心到直线的距离为,
则直线被圆截得的弦长为.
故选:A.
9.AB
【分析】根据函数表达式直接讨论单调性即可求解.
【详解】对于A,因为,所以在单调递增,且在上单调递增,
所以在单调
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