2024年中考数学二轮题型突破（全国通用）题型4 多边形证明（复习讲义）（三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形）（教师版）.docxVIP

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题型四多边形证明

（三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形）

（复习讲义）

【考点总结|典例分析】

考点01三角形全等及性质

一、三角形的基础知识

1．三角形的概念

由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．

2．三角形的三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．

推论：三角形的两边之差小于第三边．

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．

3．三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．

推论：

①直角三角形的两个锐角互余；

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

4．三角形中的重要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．

（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

二、全等三角形

5．三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

6．全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；

（2）全等三角形的周长相等，面积相等；

（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．

三、等腰三角形

7．等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．

8．等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

四、等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．

（2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．

（3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

五、直角三角形与勾股定理

9．直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．

性质：

（1）直角三角形两锐角互余；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

判定：

（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

10．勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

1．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

??

(1)求证：；

(2)若，求的度数．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；

（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．

【详解】（1）证明：∵为的角平分线，

∴，

由作图可得，

在和中，

，

∴；

（2）∵，为的角平分线，

∴

由作图可得，

∴，

∵，为的角平分线，

∴，

∴

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．

2.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．

(1)求证：∠A=∠C；

(2)求证：AB//CD．

【答案】证明：(1)在△AOB和△COD中，OA=OC∠AOB