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Chapter6

常微分方程数值解NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations

§6.0Introduction§6.1欧拉方法(Euler’sMethod)§6.2龙格-库塔法(Runge-KuttaMethod)§6.3收敛性与稳定性(ConvergencyandStability)§6.4线性多步法(MultistepMethods)§6.5微分方程组与高阶方程(SystemsofDifferentialEquationsandHigher-OrderEquations)

§6.6边值问题的数值解(Boundary-ValueProblems)

?考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:只要f(x,y)在[a,b]?R1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0x1…xn=b处的近似值节点间距为步长，通常采用等距节点，即取hi=h(常数)。§6.0Introduction

?欧拉公式：x0x1向前差商近似导数记为定义在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(xi+1)?yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。?欧拉法的局部截断误差：欧拉法具有1阶精度。Ri的主项/*leadingterm*/亦称为欧拉折线法/*Euler’spolygonalarcmethod*/§6.1欧拉方法(Euler’sMethod)

例6.1用欧拉法求初值问题当h=0.02时在区间[0,0.10]上的数值解。方程真解：〔参考程序〕

nxnyny(xn)?n=y(xn)-yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.001030.060.94890.95030.001440.080.93370.93540.001750.100.91920.92120.0020

?欧拉公式的变形与改进：?隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似导数x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+?)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。?隐式欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有1阶精度。Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltruncationerrorofEuler’smethod?Seemsthatwecanmakeagooduseofit…§6.1欧拉方法(Euler’sMethod)

?梯形公式/*trapezoidformula*/—显、隐式两种算法的平均注：的确有局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。?中点欧拉公式/*midpointformula*/中心差商近似导数x0x2x1假设，则可以导出即中点公式具有2阶精度。需要2个初值y0和y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法/*double-stepmethod*/，而前面的三种算法都是单步法/*single-stepmethod*/。§6.1欧拉方法(Euler’sMethod)

方法??显式欧拉隐式欧拉