小题压轴题专练13—向量（最值问题1）-2022届高三数学一轮复习.docVIP

小题压轴题专练13—向量（最值问题1）

一．单选题

1．已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为

A．3 B． C． D．

2．在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为

A． B． C． D．

3．已知向量，，满足，，，的最大值．最小值分别为，，则的值为

A． B． C． D．

4．半径为1的扇形中，，为弧上的动点，已知，记，则

A．若，则的最小值为3

B．若，则有唯一点使取最小值

C．若，则的最小值为3

D．若，则有唯一点使取最小值

5．已知为单位向量，向量满足，则的最大值为

A． B．2 C． D．3

6．已知向量，的夹角为，，若向量满足，则的取值范围是

A．， B． C． D．，

7．在中，，是边上的点，且，若，则的最小值

A． B． C． D．

8．在三棱锥中，，，两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为

A．4 B．2 C． D．

二．多选题

9．已知，分别为曲线和上的动点，且，不重合．为坐标原点，，．记，，则下列选项正确的是

A．若，则

B．若，则

C．当取得最小值时，

D．当取得最小值时，四边形为正方形

10．中，，，则下列结论中正确的是

A．若为的重心，则

B．若为边上的一个动点，则为定值4

C．若、为边上的两个动点，且的最小值为

D．已知是内部（含边界）一点，若，且，则的最大值是1

11．在平面直角坐标系中，，，，为坐标原点，为轴上的动点，则下列说法正确的是

A．的最小值为2

B．若，，则的面积等于4

C．若，，则的最小值为5

D．若，，且与的夹角，，则

12．在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是

A．为定值3

B．面积的最大值为

C．的取值范围是，

D．若为中点，则不可能等于

三．填空题

13．已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值是．

14．已知平面向量，，，与的夹角为，且，则的最小值是．

15．在迎接夏天的日子里，我校学生自发组织了热烈的篮球比赛．如图，是篮球场地的部分示意图，在高为4的等腰梯形中，，，．点是以为直径的半圆的中点，点是半径为6的半圆上的一个四等分点，点为半圆上任一点，且点在点左侧，已知．设点为线段上任一点，则的最小值为．

16．已知非零平面向量，，满足，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是．

小题压轴题专练13—向量（最值问题1）

1．解：如图所示：

设，，，，由得，化简得，

由是三角形的外心可知，是三边中垂线交点，得，，

代入上式得，．

根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，，

代入，得，

，当且仅当“”时，等号成立．

故选：．

2．解：设，，根据题意得，解得，，，，

，，又、、三点共线，，

，当且仅当，

即时，等号成立．

故选：．

3．解：假设、、，

因为，

所以，，，

即，

满足条件的向量的终点在以，为圆心、半径等于的圆上，

的最大值与最小值分别为，，

，

故选：．

4．解：设，如图：

以为原点，以、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．

则，，，，，，

，，，

．

①若，取，，则，

，，，，，，，，

，，，此时，、两点重合，对；

取，，则，

当时取最小值，此时、两点重合，点不唯一，错；

②若，取，，则

，

当时，，错；

取，时，则，

当时取最小值，点不唯一，错．

故选：．

5．解：设与的夹角，

由可知，

说的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，

的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，

即为．

．

故选：．

6．解：建立如图所示的平面直角坐标系：设，，，

得，如图所示的终点在圆上或内部．

，令，该直线要与圆相切或相交，则圆心到直线的距离，

解得：．

故选：．

7．解：如图，

，

，

，

，

，是边的两个三等分点，，

，则，

，

可得，

即，

，

，

当且仅当时等号成立．

的最小值为，

故选：．

8．解：如图：因为，，两两垂直且，

所以，三棱锥的外接球就是分别以，，为棱的正方体的外接球，

如平面图所示，

三棱锥的外接球的球心，为正方体的体对角线的中点，

易知球的半径为．

设线段的中点为，，

．

当取得最大值时，有最大值．

而当，，在同一个大圆上且，

点与线段在球心的异侧时，最大，如立体图、即（图所示，

此时，，，，

，

则的最大值为，

故选：．

9．解：设，，，，

则，，，，

，，

对于，，，，，，选项正确；

对于，，，，

可取，，此时与不平行，选项错误；

对于，当取得最小值时，，此时，

又，，可得，选项正确；

对于，，当时，取最小值，

此时，，满足，

又，且，

四边形为正方形，选项正确．

故选：．

10．解：如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系．

则，，．

，．

对于，由重心坐标公式，可得，，

则