2024年中考数学二轮题型突破（全国通用）题型8 函数的实际应用 类型4 抛物线型问题16题（专题训练）（教师版）.docxVIP

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类型四抛物线型问题（专题训练）

1．（2023·浙江温州·统考中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．

(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

【答案】(1)，球不能射进球门；(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门

【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；

（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．

【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，

设抛物线解析式为，

把点代入，得，

解得，

∴抛物线的函数表达式为，

当时，，

∴球不能射进球门；

（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，

把点代入得，

解得（舍去），，

∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．

【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

2.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；

（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．

(1)

依题意，顶点，

设抛物线的函数表达式为，

将代入，得．解之，得．

∴抛物线的函数表达式为．

(2)

令，得．

解之，得．

∴．

【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．

3．（2023·湖北武汉·统考中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．

飞行时间

0

2

4

6

8

…

飞行水平距离

0

10

20

30

40

…

飞行高度

0

22

40

54

64

…

探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．

问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

??

（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．

【答案】探索发现：；问题解决：（1）；（2）大于且小于

【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；

问题解决：（1）令二次函数代入函数解析式即可求解；

（2）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解.

【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，

设，，

由题意得：，，

解得：，

∴．

问题解决（1）??解：依题总，得．

解得，（舍），，

当时，．

答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．

（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度．

，

，

，

在中，

当时，；

当时，．

．

答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题分析转变成数学模型．

4.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该