第三章--数理方法-幂级数展开.ppt

第一篇复变函数论第三章幂级数展开§3.1复数项级数二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质*三、关于收敛的讨论§3.2幂级数一、幂级数表示二、幂级数收敛判别法三、幂级数性质§3.3泰勒级数展开一、解析函数以幂级数展开问题二、解析函数展为泰勒级数举例§3.4解析延拓一、问题的提出与解析延拓概念二、解析延拓的方法三、函数解析延拓的唯一性§3.5洛朗级数展开一、问题的引入三、洛朗定理四、函数的洛朗展开法§3.6孤立奇点的分类一、孤立奇点与非孤立奇点二、孤立奇点的分类及性质本章练习（P37）3（4）；（P41）（5）；（P47）（9）；求函数在z=0的泰勒展开。例4f(z)=ln(1+z)解数学物理方法★一些常用初等复变函数的泰勒展开式数学物理方法数学物理方法1、问题的提出★上式的左端的函数在很大的区域内都是解析的，只有在点不解析，但上式右端泰勒级数只在区域解析，这样，我们可以说有两个函数：（除以外）★其一，★其二，数学物理方法★两函数有怎样的关系呢？★函数的解析区域大于的解析区域★在小区域上★能否通过找到呢？2、解析延拓若已知f(z)在某个邻域b上解析，若能找到另一个函数F(z)，使它在含有区域b的一个较大的邻域上是解析的，并且在区域b上等同于f(z)，这一过程称为解析延拓。解析延拓就是使得解析函数定义域的扩大！数学物理方法★利用泰勒级数方法进行；★选区域b的内点，在的邻域上把解析函数展开；★如果这收敛区域有一部分超出b，函数f(z)定义域就扩大了一步，再在超出部分的区域选定一点为中心展开，样反复下去就可以找到函数所有的解析区域了数学物理方法函数f(z)通过某种方法进行了解析延拓，得到的函数是唯一的。★在b上有★设用两种方法将函数f(z)从较小区域b解析延拓到较大区域B上，得到的函数分别是F1(z)和F2(z).★构成新函数，该函数是解析的，且在b上处处为零,在B上不一定处处为零。证明：数学物理方法★显然，G(z)在B上不为零，若使G(z)在b上处处为零，必须有★则，满足b上G(z)处处为零，必然要求在整个区域上处处为零。★既然在B上处处为零则必然处处有：在b的境界线上的点,将G(z)在的邻域内做泰勒展开。★若系数中首项不为零的是，则：★证毕！数学物理方法1、双边幂级数★负幂项部分主要部分★正幂项部分解析部分★其收敛半径为★收敛域★其收敛半径为★收敛域（1）如果，两收敛域无公共部分；（2）如果，两收敛域有公共部分：收敛环收敛半径收敛域收敛半径收敛域1/R2数学物理方法★解析部分与负幂部分都收敛的区域，洛朗级数才可能收敛。★即，洛朗级数的收敛域为：2、问题:★其中：回答:数学物理方法