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题型五圆的相关证明与计算(复习讲义)
【考点总结|典例分析】
考点01圆的有关概念
1.与圆有关的概念和性质
(1)圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
(2)弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,过圆心的弦叫做直径,直径是圆内最长的弦.
(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧.
(4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.
(5)圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
(6)弦心距:圆心到弦的距离.
考点02垂径定理及其推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合,解题时往往需要添加辅助线,一般过圆心作弦的垂线,构造直角三角形.
2.推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
考点03圆心角、弧、弦的关系
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.
2.推论
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
考点04圆周角定理及其推论
1.定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.推论
(1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
(2)直径所对的圆周角是直角.
考点05与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)dr?点在⊙O内;
(2)d=r?点在⊙O上;
(3)dr?点在⊙O外.
判断点与圆之间的位置关系,将该点的圆心距与半径作比较即可.
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
dr
d=r
dr
考点06切线的性质与判定
1.切线的性质
(1)切线与圆只有一个公共点.
(2)切线到圆心的距离等于圆的半径.
(3)切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时,通常连过切点的半径,利用直角三角形的性质来解决问题.
2.切线的判定
(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法:
①知道直线和圆有公共点时,连半径,证垂直;
②不知道直线与圆有没有公共点时,作垂直,证垂线段等于半径.
考点07三角形与圆
1.三角形外接圆
外心是三角形三条垂直平分线的交点,它到三角形的三个顶点的距离相等.
2.三角形的内切圆
内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形的三条边的距离相等.
1.(2023·四川眉山·统考中考真题)如图,切于点B,连接交于点C,交于点D,连接,若,则的度数为(????)
??
A. B. C. D.
2.(2023·重庆·统考中考真题)如图,为的直径,直线与相切于点C,连接,若,则的度数为(????)
??
A. B. C. D.
3.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图,内接于,是的直径,连接,,则的度数是(????)
A. B. C. D.
4.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图,是半圆的直径,点在半圆上,,连接,过点作,交的延长线于点.设的面积为的面积为,若,则的值为(????)
??
A. B. C. D.
5.如图,A,B,C是半径为1的⊙O上的三个点,若AB=,∠CAB=30°,则∠ABC的度数为()
A.95° B.100° C.105° D.110°
6.(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图,已知点在上,为的中点.若,则等于()
??
A. B. C. D.
7.如图,AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,若,则的度数为()
A.70° B.90° C.40° D.60°
8.如图,中,,,.点为内一点,且满足.当的长度最小时,的面积是()
A.3 B. C. D.
9.(2023·湖南常德·统考中考真题)如图,四边形是的内接四边形,是直径,是的中点,过点作交的延长线于点.
??
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的长.
10.(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图,是的外接圆,是的直径,是延长线上一点,连接,且.
(1)求证:是的切线;
(2)若直径,求的长.
11.如图,A,B是上两点,且,连接OB并延长到点C,使,连接AC.
(1)求证:AC是的切线.
(2)点D,E分别是AC,OA的中点,DE所在直线交于点F,G,,求GF的长.
12.(2023·辽宁·统考中考真题)如图,是的直径,点在上,,点在线段的延长线上,且
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