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圆及直线与圆的位置关系
一、考点梳理
1.圆的三种方程
2.圆与直线的位置关系
〔1〕判断圆与直线的位置关系主要有以下两种方法:
〔1〕代数法
联立方程消元后得到关于x或y的一元二次方程,其判别式为,那么
直线与圆相交〔有两个公共点〕
直线与圆相切〔有一个公共点〕
直线与圆相离〔没有公共点〕
〔2〕几何法:
设圆的半径为,圆心到直线的距离为,那么:
直线与圆相交〔有两个公共点〕
直线与圆相切〔有一个公共点〕
直线与圆相离〔没有公共点〕
3.直线被圆截得的弦长
〔1〕几何方法
运用弦心距,半径及弦的一半构成的直角三角形,用勾股定理计算弦长
〔2〕代数方法:
弦长公式
=
4.点与圆,圆与圆的位置关系的判断
同判断直线和圆的位置关系一样
二、考点自测
1.方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆〔〕D
A、关于x轴对称B、关于y轴对称
C、关于直线x-y=0对称D、关于直线x+y=0对称
2.从圆外一点向这个圆作两条切线,那么两切线夹角的余弦值为〔b〕
A.B.C.D.
3.圆关于原点对称的圆的方程为〔〕
4.直线与圆交于两点,且,其中为原点,那么实数的值为〔C〕
5.满足方程,那么的最小值是〔B〕
6.圆:(x-1)2+y2=1,作弦OA,那么OA中点的轨迹方程是____、〔x≠0〕
5、〔湖北文8〕由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,那么切线长的最小值为
A.1 B.2 C.D.3
答案:选C
解析:切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得,圆心〔3,0〕到直线的距离为d=,圆的半径为1,故切线长的最小值为,选C
三、命题热点突破:
例1方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆,〔1〕求实数m取值范围;〔2〕求圆半径r
分析:
〔1〕m满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)0,即7m
∴
半径r=
∵
∴时,
∴0r≤
〔3〕设圆心P〔x,y〕,那么
消去m得:y=4(x-3)2-1
又
∴
∴所求轨迹方程为(x-3)2=(y+1)〔〕
例2:〔金版教程262页例5〕
〔1〕假设实数x,y满足,那么的最大值是
〔2〕圆,点A〔-1,0〕,B〔1,0〕,点P为圆上一动点,求的最大值和最小值及对应的P点坐标
例3〔三年高考两年模拟125页6〕如图,圆和定点A〔2,1〕,由圆O外一点P〔a,b〕向圆O引切线PQ,切点为Q,且满足,OPA
O
P
A
x
y〔1〕求实数a,b间满足的等量关系
y
〔2〕求线段PQ长的最小值
〔3〕假设以P为圆心所做的圆P与圆O有公共点,试求半径取最小值时圆P的方程。
例4与圆相切的直线l交x轴,y轴于A,B两点,且,
求证:
求线段AB的中点的轨迹方程
求面积的最小值
四、思想方法总结:
圆及直线与圆的位置关系作业
一、选择题:
1.假设直线与曲线有两个不同交点,那么实数的取值范围是〔B〕
2.一束光线从点出发,经x轴反射到圆C:上的最短路程是〔A〕
3.圆,圆,两圆的外公切线交于点,内公切线交于点,假设,那么=〔B〕
4.从原点出发向圆作两条切线,那么该圆夹在两条切线间的劣弧长为〔〕
5.假设圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,那么直线的倾斜角的取值范围是(b)
A.[]B.[]C.[D.
6、将直线x+y-1=0绕点〔1,0〕顺时针旋转后,再向上平移一个单位,此时恰与圆x2+(y-1)2=R2相切,那么正数R等于B
AB、C、1D、
二、填空题
7.直线和圆相交于两点,且,那么〔-1/2〕
〔今版教程261页例1〕
8.求满足以下条件的圆的方程
经过点〔6,5〕,〔0,1〕且圆心在直线上的圆的方程为
经过〔-2,4〕,〔3,-1〕且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程
9.设直线与圆相交于、两点,且弦的长为,那么____________.
解析:设直线与圆相交于、两点,且弦的长为,那么圆心(1,2)到直线的距离等于1,,0.
三、解答题
10.求半径是4,与圆和直线分别相切的圆的方程
解;
11.圆C:及点
假设点在圆C上,求直线PQ的斜率
假设M是圆C上任一点,求的最大值和最小值
假设点在圆C上,求的最大值
〔今版教程269页〕
12.P是直线上的动点,PA,PB是圆的两条切线,A,B是切点,求四边形PACB的面积的最小值
13.〔今版教程262例4〕
圆,现在构造一系列的圆,
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