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东北三省四市2024届高三第二次调研数学试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数的一条切线为,则的最小值为()
A. B. C. D.
2.如图,在△ABC中,点M是边BC的中点,将△ABM沿着AM翻折成△ABM,且点B不在平面AMC内,点P是线段BC上一点.若二面角P-AM-B与二面角P-AM-C的平面角相等,则直线AP经过△ABC
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
3.等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱,直角边AE绕斜边AB旋转,则在旋转的过程中,有下列说法:
(1)四面体EBCD的体积有最大值和最小值;
(2)存在某个位置,使得;
(3)设二面角的平面角为,则;
(4)AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P,则点P的轨迹为椭圆.
其中,正确说法的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设集合,,若,则的取值范围是()
A. B. C. D.
5.根据如图所示的程序框图,当输入的值为3时,输出的值等于()
A.1 B. C. D.
6.已知向量,是单位向量,若,则()
A. B. C. D.
7.已知为圆的一条直径,点的坐标满足不等式组则的取值范围为()
A. B.
C. D.
8.已知集合A={x|x1},B={x|},则
A. B.
C. D.
9.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中左视图中三角形为等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是()
A. B.
C. D.
10.已知向量,,则与共线的单位向量为()
A. B.
C.或 D.或
11.在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是()
A. B. C. D.
12.已知双曲线(,)的左、右顶点分别为,,虚轴的两个端点分别为,,若四边形的内切圆面积为,则双曲线焦距的最小值为()
A.8 B.16 C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图所示,直角坐标系中网格小正方形的边长为1,若向量、、满足,则实数的值为_______.
14.如图,的外接圆半径为,为边上一点,且,,则的面积为______.
15.平面向量与的夹角为,,,则__________.
16.“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月共织九匹三丈.”其白话意译为:“现有一善织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织了5尺布,现在一个月(按30天计算)共织布390尺.”则每天增加的数量为____尺,设该女子一个月中第n天所织布的尺数为,则______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在四棱椎中,四边形为菱形,,,,,,分别为,中点..
(1)求证:;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18.(12分)已知函数,
(Ⅰ)当时,证明;
(Ⅱ)已知点,点,设函数,当时,试判断的零点个数.
19.(12分)如图,在四棱柱中,平面平面,是边长为2的等边三角形,,,,点为的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使直线与平面所成的角正弦值为,若存在求出的长,若不存在说明理由.
20.(12分)记函数的最小值为.
(1)求的值;
(2)若正数,,满足,证明:.
21.(12分)2019年是中华人民共和国成立70周年.为了让人民了解建国70周年的风雨历程,某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查,将他们的年龄分成6段:,,…,,并绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)现从年龄在,,内的人员中按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机选取3人进行座谈,用表示年龄在)内的人数,求的分布列和数学期望;
(2)若用样本的频率代替概率,用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查,其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时,求的值.
22.(10分)已知,均为给定的大于1的自然数,设集合,
.
(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;
(Ⅱ)当时,,且集合满足下列条件:
①对任意,;
②.
证明:(ⅰ)若,则(集合为集合在集合中的补集);
(ⅱ)为一个定值(不必求出此定值);
(Ⅲ)设,,,其中,,若,则.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小
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