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几何综合题2021年一模
1.如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,点P在AD边上,连接BP,过点D作BP的垂线交BP的延长线于点E,连接BD.
(1)连接AE,过点A作AF⊥AE交BE于点F.
①若,求sin∠DBE的值;②求证:DE=2BF.
(2)如图2,在BE的延长线上取一点G,连接DG,若∠GDE=∠ADB,取BG的中点M,连接AM,求证:AM=(BE-GE).
【答案】(1)①;②证明见解析;(2)证明见解析.
【分析】
(1)①设AB=a,则AD=2a,PD=a,PA=a,先由勾股定理得PB=a,BD=a,再证△PDE∽△PBA,得DE:AB=PD:PB,则DE=a,即可求解;
②先由相似三角形的性质得∠PDE=∠ABF,再证△ABF∽△ADE,得DE:BF=AD:AB=2,即可得出结论;
(2)连接AE,过点A作AF⊥AE交BE于点F,先证△DEG∽△DAB,得DE:GE=AD:AB=2,则DE=2GE,得BF=GE,再证点M是EF的中点,然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论.
【详解】
解:(1)①设AB=a,则AD=2a,
∵
∴PD=a,PA=a,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠PAB=90°,
由勾股定理得:,,
∵DE⊥BP,
∴∠PED=∠PAB=90°,
又∵∠DPE=∠APB,
∴△PDE∽△PBA,
∴DE:AB=PD:PB,
即,
解得:,
∴;
②证明:∵△PDE∽△PAB,
∴∠PDE=∠ABF,
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=90°,
∴∠DAE+∠PAF=∠BAF+∠PAF=90°,
∴∠DAE=∠BAF,
∴△ABF∽△ADE,
∴DE:BF=AD:AB=2,
∴DE=2BF;
(2)证明:连接AE,过点A作AF⊥AE交BE于点F,如图所示:
∵∠GDE=∠ADB,∠DEG=∠DAB=90°,
∴△DEG∽△DAB,
∴DE:GE=AD:AB=2,
∴DE=2GE,
由(1)②得:DE=2BF,
∴BF=GE,
∵点M是BG的中点,
∴MG=MB,
∴ME=MF,
∴点M是EF的中点,
∴AM=EF=(BE-GE).
【点睛】
本题是四边形综合题目,考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、锐角三角函数定义等知识;本题综合性强,熟练掌握矩形的性质和勾股定理以及证明三角形相似是解题的关键.
2.如图,与均为等边三角形,点E,F分别在边上,且,连接相交于点G,连接并延长交于点H.
(1)求的度数;
(2)求证:;
(3)若H为的中点,求的值.
【答案】(1)60°;(2)见解析;(3)
【分析】
(1)根据SAS证明得,再由三角形的外角性质可得结论;
(2)延长至点M,使,得为等边三角形,,,进一步得出,根据SAS可证明,得到,从而进一步得到结论;
(3)证明得,证明得,故可得,由H为的中点可得结论.
【详解】
(1)证明:∵是等边三角形,
∴,
∴.
在和中
∵,
∴;????????
∴,????????????
∴
(2)证明:延长至点M,使
由(1)知,,
∴为等边三角形,?????????
∴,
∵
∴,
∵为等边三角形,
∴,,
∴
即???????????
在和中
∵
∴;?????????????
∴,???????????
又∵,
∴.????????
(3)解:由(2)得,,
∴
∵
∴,
∴,即,??????????
∵,,
∴,
∴,即,????????
∴
又∵H为的中点,
∴,,
∴
【点睛】
本题属于三角形综合题,考查了菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.
3.如图1,矩形ABCD中,点E是边AD的中点,延长BE交CD的延长线于点F,点P是线段EF上的一点,延长PD交BC的延长线于点Q.
(1)①如图1,若P是线段EF的中点,求证:DE=CQ;
②如图2,若AB=4,BC=8,PF=CQ,求CQ的长;
(2)如图3,连接AP、AQ,求证:AD平分∠PAQ.
【答案】(1)①证明见解析;②;(2)证明见解析.
【分析】
(1)①先证△ABE≌△DFE,由全等三角形的性质得BE=EF,根据P是线段EF的中点可得出BP=3PE,由矩形的性质得AD=BC=2DE,AD∥BC,根据平行线分线段成比例定理可得,即BQ=3DE,即可求证;
②设PF=CQ=x,则BQ=8+x,由题意得AE=DE=4,根据勾股定理得出,由①△ABE≌△DFE可得,则,,根据平行线分线段成比例定理可得,得出关于x的方程,解方程即可;
(2)过点P作PH⊥AD于H,设AB=m,BC=n,PE=x,表示出AB,BQ,PH,AH,根据tan∠
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