常微分方程的基本概念.pptx

十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量需要寻求函数关系的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据具体问题的条件和某些物理定律，首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即微分方程，然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。学科背景

解A.求曲线方程问题的提出：

一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求质点下落距离S与时间t的函数关系。解：将质点的初始位置取为原点，沿质点运动方向取正向。已知自由落体的加速度为g,即：B.质点自由下落

定义1:含有未知函数的导数的方程称为微分方程.未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程.未知函数是多元函数,含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程.例如5.1微分方程的基本概念

例如定义2:(微分方程的阶)未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.一阶二阶二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.

定义3:(微分方程的解)称为微分方程的通解.通解中各任意常数取特定值时所得到的解称为特解.微分方程的通解：

定义5:(积分曲线与积分曲线族)积分曲线族?

1.微分方程的通解和特解有何区别和联系?2.判断下列函数是否是微分方程的解，是通解还是特解?(1)(2)(3)(4)

§5.2一阶常微分方程1.变量可分离型3.一阶线性方程2.可化为可分离变量主要类型

5.2.1可分离变量的微分方程如果一阶微分方程这类方程的解法，通常是先将变量分离，再两边积分即可.

两边积分通解分离变量这两个方程的共同特点是变量可分离型

(1)[解]两边积分分离变量即于是得到方程通解

(2)[解]分离变量两端积分,得通解奇异解

成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时例

5.2.2可化为可分离变量的方程解齐次方程时,通常用变量替换法,即将齐次方程化为可变量分离的方程.

这两个方程的共同特点是什麽?可化为齐次型方程求解方法这是什麽方程？可分离变量方程！

分离变量两端积分由此又得到通解

两端积分得通解

例3解

可得?OMA=?OAM=?例在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:

利用曲线的对称性,不妨设y0,积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)

顶到底的距离为h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得

(1)如何解齐次方程？标准形式：5.3一阶线性微分方程分离变量齐次通解解得非齐次齐次

(2)用常数变易法解非齐次方程假定(1)的解具有形式将这个解代入(1),经计算得到

化简得到即积分从而得到非齐次方程(1)的通解非齐次通解

非齐次通解齐次通解

例1求的通解。原方程化为其中解

例2.解方程解：利用求解公式

练习：求

利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方法将微分方程变为某些函数的微分形式。例如

[解]通解凑微分

通解为[解]改写为