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上海市北蔡高中2023-2024学年高三适应性调研考试数学试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线:与圆:交于,两点,与平行的直线与圆交于,两点,且与的面积相等,给出下列直线:①,②,③,④.其中满足条件的所有直线的编号有()
A.①② B.①④ C.②③ D.①②④
2.过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是().
A. B. C. D.
3.若实数、满足,则的最小值是()
A. B. C. D.
4.已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象()
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
5.在中,角的对边分别为,若,则的形状为()
A.直角三角形 B.等腰非等边三角形
C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形
6.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为坐标原点),则k的值为()
A. B. C.或- D.和-
7.已知,,若,则实数的值是()
A.-1 B.7 C.1 D.1或7
8.已知是虚数单位,若,则()
A. B.2 C. D.3
9.公元前世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了米,此时乌龟便领先他米,当阿基里斯跑完下一个米时,乌龟先他米,当阿基里斯跑完下-个米时,乌龟先他米....所以,阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时,乌龟爬行的总距离为()
A.米 B.米
C.米 D.米
10.设复数满足,在复平面内对应的点的坐标为则()
A. B.
C. D.
11.已知复数(为虚数单位)在复平面内对应的点的坐标是()
A. B. C. D.
12.已知,若对任意,关于x的不等式(e为自然对数的底数)至少有2个正整数解,则实数a的取值范围是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在中,若,则的范围为________.
14.正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心,另外三个顶点圆柱下底面的圆周上,记正四面体的体积为,圆柱的体积为,则的值是______.
15.若一个正四面体的棱长为1,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为_________.
16.已知函数,则曲线在处的切线斜率为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)某学校为了解全校学生的体重情况,从全校学生中随机抽取了100人的体重数据,得到如下频率分布直方图,以样本的频率作为总体的概率.
(1)估计这100人体重数据的平均值和样本方差;(结果取整数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)从全校学生中随机抽取3名学生,记为体重在的人数,求的分布列和数学期望;
(3)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重近似服从正态分布.若,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
18.(12分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为(t为参数,α为直线的倾斜角).
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.
19.(12分)一酒企为扩大生产规模,决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆,发酵馆内有一个无盖长方体发酵池,其底面为长方形(如图所示),其中.结合现有的生产规模,设定修建的发酵池容积为450米,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,发酵池造价总费用不超过65400元
(1)求发酵池边长的范围;
(2)在建发酵馆时,发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道(为常数).问:发酵池的边长如何设计,可使得发酵馆占地面积最小.
20.(12分)在直角坐标系中,曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若点是圆上一动点,过点作曲线的两条切线,切点分别为,求直线
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