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线性谐振子和粒子数表象
4.6线性谐振子和粒子数表象
4.6线性谐振子和粒子数表象
（4.6.2）不难证明，这两个非厄米算符满足如下基本对易
关系：
（4.6.4）
式（4.6.3）的逆变换关系为
（4.6.5）
（4.6.5），并考虑到对易关系（4.6.4），哈密顿算符又可表示
为
（4.6.6）
4.6线性谐振子和粒子数表象
4.6线性谐振子和粒子数表象
由于与算符仅仅相差一个常数矩阵，所以我们
只需求解的本征值问题。设它的属于本征值为的本
征矢为，即
（4.6.7）
首先，由于是一个右矢
的模的平方，是非负数，因此可得到如下结论：
（4.6.8）
即的本征值为非负数。
其次，利用对易关系（4.6.4）不难证明
（4.6.9）
4.6线性谐振子和粒子数表象
4.6线性谐振子和粒子数表象
这表明，若是的一个本征矢，相应的本征值，则
也使它的一个本征矢，相应的本征值为。类似的将
算符作用于本征矢，有
（4.6.10）
由此，我们可将称为“产生算符”，称为“湮灭算符”，
如果是的一个本征矢，则和对这个本征矢作
用后得到的新的右矢仍然是的本征矢，
但其本征值增加或减。重复的使用这种作用，我们可
以从某一给定的本征矢出发，得到具有不同本征值的所有
本征矢。这种方法可称为“阶梯法”。所得到的本征值谱显
然是等间隔的，间隔为。
4.6线性谐振子和粒子数表象
4.6线性谐振子和粒子数表象
最后，本征值取值条件（4.6.8）表明，本征值谱有一
个下限，设下限为相应的本征矢为，即
（4.6.11）
由于是的属于最小本征值的本征矢，所以满足如
下条件：
（4.6.12）
根据这个条件，由式（4.6.11）可，这是唯一可能
小于的本征值。零本征值的态可记为，称为基态。条
件（4.6.12）可记为：
（4.6.13）
4.6线性谐振子和粒子数表象
4.6线性谐振子和粒子数表象
由于的本征值和本征矢可记为
（4.6.14）
其中是归一化系数，待定。由式（4.6.6），（4.6.7）
（4.6.14）可知（4.6.15）
即一维
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