物理学基地班分析力学讲义四.ppt

即——哈密顿方程五、相空间定义：仅由广义坐标qα形成的空间叫位形空间；由qα、pα这一对共轭变量形成的空间叫相空间。在任一时刻t，当给定位形空间中一点的r(t)，不能确定质点的运动。为了决定质点的运动，还必须知道这一时刻位矢的导数，而这意味着需要知道相邻时刻的r(t)。位形空间：位置状态；相空间：运动状态。要使得给定空间中的一点能完全决定质点的运动，将3个坐标分量和3个动量分量合在一起，形成一个6维欧氏空间，称为这一质点的相空间。这样，给定相空间中的一点，就完全决定了质点的运动。质点在相空间中的代表点随时间t的变化所描出的曲线称为质点的相轨迹。对于周期运动，相轨迹是闭合曲线(例如一维谐振子的相图)。§1.6.2守恒律泊松括号(PoissonBracket)一、力学量对时间的导数哈密顿形式下，qα,pα——力学系统的状态力学量用qα,pα来表示的例子：一维线性谐振子2.粒子的能量、角动量一般情况：f=f(p,q,t)，则设f—力学系统的任意力学量，则由哈密顿方程定义：H和f的泊松括号——用泊松括号表示的力学量随时间的演化方程说明1.用泊松括号，可以使任一力学量随时间的变化方程表述得非常简洁；2.泊松括号形式很容易过渡到量子力学：量子泊松括号。量力泊松括号到经典泊松括号的过渡参见曾谨言《量子力学》下册p464-p466，或参见教材p464。二、用泊松括号表示出的运动方程因为1.——f中不显含时间，只含qα则2.——f中不显含时间，只含pα则即——用泊松括号表示的运动方程实际上三、能量守恒与动量守恒设f=f(p,q)不显含时间t，即则又若f守恒——不显含时间t的力学量守恒的充分必要条件是它和H的泊松括号等于零若：H不显含时间t，则H是守恒量——能量守恒循环坐标：在拉格朗日函数中不包含的某一广义坐标1.设H不包含某一广义坐标qα，则——与循环坐标qα对应的广义动量pα守恒2.设H不包含pα，则因此，广义动量也称为循环坐标。这样，在哈密顿表述中，广义坐标概念被推广，qα,pα地位相等，广义动量也可视为广义坐标。四、泊松括号的性质设任意两个函数f,g：f=f(q,p,t),g=g(q,p,t)定义：f和g的泊松括号为泊松括号的重要性质1.基本的泊松括号(由正则变量组成)2.反对易性3.分配律4.结合律5.若c为常量，则6.求导运算x：时间、广义坐标、广义动量等变量7.线性性质8.雅可比关系附：量子泊松括号和海森堡绘景下的运动方程1.设有算符，则量子泊松括号为§1.6.3正则变换一、正则变换1.目的：找到一坐标系，使得在该系下，循环坐标多；2.正则变换的涵义：广义坐标为qα(α=1,2,…S)，是决定系统中所有质点位置的独立变量。设Qα为qα的单值可逆函数，即2.在海森堡绘景下的运动方程为Qα决定qα，即决定了系统中所有质点的位置Qα也是广义坐标(qα,Qα：均在位形空间)Qα=Qα(q1,q2,…qS,t)是qα,Qα之间的变换例：笛卡尔坐标和球坐标之间的关系