2024年高中数学专题3_1重难点题型培优精讲椭圆及其标准方程教师版新人教A版选择性必修第一册.docVIP

专题3.1椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义

(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫

作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

(2)椭圆定义的集合表示P={,2a}.

2．椭圆的标准方程

椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

3．椭圆方程的求解

(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待

定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.

②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点

在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A0,B0,A≠B)，再解答.

4．椭圆的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——

焦点三角形，如图所示.

(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③设，，则.

【题型1曲线方程与椭圆】

【方法点拨】

根据所给曲线方程表示椭圆，结合椭圆的标椎方程进行求解，即可得出所求.

【例1】已知曲线C:x24a+y23a+2=1，则

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【解题思路】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可

【解答过程】若曲线C是椭圆，则有：4

解得：a0，且

故“a0”是“曲线C是椭圆”

故选：C.

【变式1-1】“1m5”是“方程x2m-

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解题思路】根据椭圆的标准方程可得-10,5-m0,m-

【解答过程】若方程表示椭圆，则有-

因此1m5且

故“1m5”是“方程x2

故选：B.

【变式1-2】已知方程x225-m+y2m

A．-9m25

C．9m25 D

【解题思路】由题知m+925-

【解答过程】解：∵方程x225-m

∴m+925-

故选：D．

【变式1-3】若方程x225-k+y2k

A．9,25 B．-∞,9∪25,+∞

【解题思路】根据题意可得k-925

【解答过程】解：因为方程x225-k

所以k-925-

所以实数k的取值范围为17,25.

故选：C.

【题型2椭圆的定义】

【方法点拨】

利用椭圆的定义解决涉及焦点相关问题的计算：一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，

如题目中有椭圆上的点到两焦点的距离可考虑用定义解题，另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何

时应用、怎样应用.

【例2】（2023·全国·高三专题练习）点P为椭圆4x2+y2=16上一点，F1，F

A．13 B．1 C．7 D．5

【解题思路】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到PF1

【解答过程】椭圆方程为：x24+

故PF

故选：D.

【变式2-1】设P为椭圆C:x216+y212=1上的点，F1，

A．32 B．2 C．56 D

【解题思路】先利用椭圆得到a=4，根据椭圆的定义可得到PF1+PF2

【解答过程】解：由椭圆C:x216+

因为P为椭圆C:x2

因为PF1-PF2=

故选：B．

【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知F1，F2是椭圆C:x29+y2

A．13 B．12 C．9 D．6

【解题思路】根据椭圆方程求得a=3，再由椭圆的定义可得|

【解答过程】解：由椭圆C:x29+

因为点M在C上，所以|M

所以|M

当且仅当|MF1|=|

故选：C．

【变式2-3】已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,

A．30° B．60° C．120°

【解题思路】根据椭圆方程求得F1F2=27，由椭圆的定义，得MF1+MF

【解答过程】解：由题意，椭圆方程x29+

所以焦点F1

又由椭圆的定义，可得MF1+MF

在△F1M

所以(27)2

又由∠F1M

故选:C．

【题型3椭圆方程的求解】

【方法点拨】

(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

根据所给条件设出椭圆的标准方程，代入点，即可得解.

【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为F1(-5,0)，F2(5,0)

A．x27+y22=1 B．

【解题思路】首先设MF1=m，MF2

【解答过程】设MF1=m，MF2=n，因为MF