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考点16二次函数与幂函数
【命题解读】
二次函数为基本考察对象,以绝对值或分段函数的呈现方式,与不等式相结合,考查函数的基本性质,如奇偶性、单调性与最值、函数与方程(零点)、不等式的解法等,考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查;
【基础知识回顾】
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
③当α0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a0)
y=ax2+bx+c(a0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac-b2,4a),+∞))
eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(4ac-b2,4a)))
对称轴
x=-eq\f(b,2a)
顶点
坐标
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),\f(4ac-b2,4a)))
奇偶性
当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(b,2a)))上是减函数;
在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),+∞))上是增函数
在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(b,2a)))上是增函数;
在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),+∞))上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0,,Δ0))时恒有f(x)0;当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0,,Δ0))时,恒有f(x)0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限;
(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
1、幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的大致图象是()
2、已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)f(1),则()
A.a0,4a+b=0 B.a0,4a+b=0
C.a0,2a+b=0 D.a0,2a+b=0
3、若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为()
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,2)
4、若函数y=x2-3x+4的定义域为[0,m],值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,4),4)),则m的取值范围为()
A.(0,4] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2),4))
C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2),3)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),+∞))
5、不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为()
A.[0,+∞) B.[﹣4,+∞) C.[﹣4,4] D.(﹣∞,﹣4]
6、(2017徐州、连云港、宿迁三检)已知对于任意的,都有,则实数的取值范围是▲.
考向一幂函数的图像与性质
1.幂函数y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数y=f(x)的解析式为___________.
2.图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图像.已知α取±2,±eq\f(1,2)四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α值依次为____________.
3.已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数?
变式1、已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xeq\a\v
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