第五章-第一节-解析函数的洛朗展式.pptVIP

第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第一节解析函数的洛朗展式第二节解析函数的孤立奇点第三节解析函数在无穷远点的性质第四节整函数与亚纯函数的概念第十七讲

第一节解析函数的洛朗展式1.双边幂级数2.解析函数的洛朗展式3.洛朗级数与泰勒级数的关系4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式

一双边幂级数考虑两个级数:

称为双边幂级数,可表为

定理5.1设双边幂级数(5.3)的收敛圆环为则(1)(5.3)在H内收敛且内闭一致收敛于

二解析函数的Laurent展式定理5.２（Laurent定理）其中

证明设z为圆环Ｈ内任意取定的点，使得由定理3.11柯西积分公式有作含于Ｈ内的圆周zaΓ1Γ2H

对第一个积分，同定理４.1４证明一样，得到zaΓ1Γ2对第二个积分，ζ

因此且一致收敛，代入第二个积分得

故由复围线的Cauchy积分定理,得“唯一性”若

故

定义5.1

三、Laurent级数与Taylor级数的关系例1解

这时

四、解析函数在孤立奇点的Laurent展式

解z=1z=2

z=1z=2

z=1z=2

例3解

例4解

例5证明

作业P217习题(一)1(1)(2)