2024年高中数学专题3_14重难点题型培优检测直线与抛物线的位置关系教师版新人教A版选择性必修第一册.docVIP

专题3.14直线与抛物线的位置关系

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．（3分）已知O为坐标原点，F是抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上一点，且∠POF=

A．53 B．2 C．73 D

【解题思路】不妨设点Px,y为第一象限内一点，将直线OP的方程与抛物线方程联立，求出点P

【解答过程】不妨设点Px,y为第一象限内一点，则直线OP的斜率为3，直线OP

联立y=3xy2

所以，PF=

故选：C.

2．（3分）设F为抛物线C:y2=6x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B

A．303 B．8 C．12 D．

【解题思路】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.

【解答过程】依题意可知抛物线C:y2=6x焦点为3

代入抛物线方程得4x2-

根据抛物线的定义可知直线AB的长为xA

故选：B．

3．（3分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（）米．

A．25 B．26 C．32

【解题思路】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把B（x0，﹣3）代入抛物线方程求得x0进而得到答案．

【解答过程】如图建立直角坐标系，

设抛物线方程为x2＝my，

将A（2，﹣2）代入x2＝my，

得m＝﹣2

∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0=6

故水面宽为26m．

故选：B．

4．（3分）斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形AOB

A．233 B．433 C．

【解题思路】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积.

【解答过程】抛物线C:y2

则斜率为3的直线方程为：y=

3x

设Ax1,y1

则AB=

点O到直线AB的距离为d=

所以△AOB的面积为1

故选：B.

5．（3分）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2pxp0，弦AB过焦点F，△

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．随着点A，B位置的变化，前三种情况都有可能

【解题思路】设出直线AB的方程，联立抛物线，利用韦达定理得出y1+y2

【解答过程】

如图，设Ax1,y1，Bx2,y

设直线AB的方程为my=x-

整理得y2-2pmy-p2

设过点A的切线方程为k1y-

整理得y2

则Δ=-2

设过点B的切线方程为k2y-

则p2k1k2

则两条切线的斜率之积为-1，故△

故选：B．

6．（3分）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D

A．32 B．16 C．24 D．8

【解题思路】由两条直线垂直，以及|AB|+|DE|取得最小值时|AB|=|DE|，有A与D，B与E关于

【解答过程】因为AB⊥DE，要使|AB

由抛物线的对称性可得A与D，B与E关于x轴对称，所以可得直线DE的斜率为1，又过抛物线的焦点(1,0)，

所以直线DE的方程为：y=

y=x-1y2=4

所以可得|DE

所以S四边形

故选：A．

7．（3分）已知抛物线C:y2=12x的焦点为F，过F且不与x轴垂直的直线与抛物线相交于A、B两点，P为x轴上一点，满足PA

A．为定值2 B．为定值1

C．不是定值，最大值为1 D．不是定值，最小值为1

【解题思路】根据题意，设直线AB的方程为x=my+3m≠0，设点Ax1,y1、Bx

【解答过程】若直线AB与x轴重合，此时，直线AB与抛物线C只有一个交点，不合乎题意；

由题意，F(3,0)，设直线AB的方程为x=my+3m

联立y2=12xx=my+3可得y

由韦达定理可得y1+y

所以，AB=

线段AB的中点为D6m2+3,6m，所以，直线

在直线PD的方程中，令y=0，可得x=6m

所以，PF=6m2

故选：A.

8．（3分）已知A，B是抛物线C:y2=4x上两动点，F

A．直线AB过焦点F时，AB最小值为4

B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时（点A在第一象限），AF

C．若AB中点M的横坐标为3，则AB最大值为8

D．点A坐标4,4，且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，则直线BD方程为：4

【解题思路】对于A，易知当AB垂直于x轴时，AB取最小值4，故A正确；

对于B，联立方程求得xA与xB，从而得到AF=3

对于C，由AB≤AF+BF可推得当直线AB过焦点F时，AB最大值为

对于D，利用条件分别求出B、D的坐