2024年高中数学专题3_16大题专项训练圆锥曲线中的定点定值定直线问题30道教师版新人教A版选择性必修第一册.docVIP

专题3.16圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

姓名：___________班级：___________考号：___________

1．点A,B是椭圆E:x24+y23=1的左右顶点若直线l

【解题思路】联立直线与椭圆方程，联立直线AN的方程与直线BM的方程，结合韦达定理，化简可求得直线AM与直线BN交点在定直线x＝4上．

【解答过程】由题意得，A-2,0，B2,0

联立x24+y

所以x1+x

直线AM的方程为y=y1x1

联立y=y1x1

原式=

=2

故直线AM与直线BN交点在定直线x＝4上．

2．在平面直角坐标系中xOy，椭圆C:x2a2+y

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线AP的斜率为k1，直线QB的斜率为k2，已知k1=7k2

【解题思路】（1）由题意列方程组求解；（2）设PQ直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线PQ的斜率是否为0.

【解答过程】（1）

由题意可得{ca=

所以椭圆C的方程为x2

（2）

依题意，点A(-2,0),

因为若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有kAP

所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为x=

与椭圆C联立{x24

所以Δ=4t

因为点P(x1

则kAP

所以kAP=

因为28

=28(

所以n=-3

故直线PQ：x=ty+32

3．已知抛物线C:x2=2py(p0)，动直线l经过点（2，5）交C于A，B两点，O为坐标原点，当l垂直于

(1)求C的方程；

(2)C上是否存在定点P，使得P在以AB为直径的圆上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解题思路】（1）根据当l垂直于y轴时，△OAB的面积为105，由y=5与抛物线方程联立求解；

（2）设l的方程为y=kx-2+5，与抛物线方程联立，根据P

【解答过程】(1)

解：因为当l垂直于y轴时，△OAB的面积为105，

联立y=5x2

所以△OAB的面积为12

解得p=2

所以C的方程为x2

(2)

由题知l的斜率存在，设l的方程为y=kx-2

假设存在点P（x0，x02

联立y=kx

则Δ=16

x1

又PA=

所以PA?

=x

又x1≠x0且

所以x1

则x02+4

所以当x0=-

将x0=-2代入

所以存在定点P（－2，1）符合题意．

4．已知A?,?B是双曲线x2a2-y

【解题思路】设Px1,y1，

【解答过程】设Px1,y1，Ax2

点A和点P在双曲线上，则有x1

两式作差得1a

可得y1-y

5．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a0,b0

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设Q为双曲线右支上的一个动点，证明：在x轴的负半轴上存在定点M，使得∠QFM

【解题思路】（1）由双曲线的对称性可取渐近线y=bax，则可求出交点P的坐标，结合

（2）设Qx0,y0x0≥1，讨论当∠QFM=90°时求出点M

【解答过程】（1）

根据双曲线的对称性，不妨设直线x=a2c与渐近线

由x=a2c

因为PF=

所以c-a2

又离心率为2，所以c2a2

所以双曲线C的标准方程为x2

（2）

由（1）知双曲线C的右焦点为F2,0

设Qx0,

①当x0=2时，

因为∠QFM

所以∠QMF

所以MF=

所以M-

②当x0≠2

tan∠QFM=

因为∠QFM

所以-y

（i）当y0≠0

又x02-y02

所以-(4+4t)=03+4t+t2=0

（ii）当y0=0，t=-1

综上，在x轴的负半轴上存在定点M-1,0，使得

6．如图，已知抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.当直线

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求证：点P在定直线上.

【解题思路】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解；

（2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线PA,PB，两直线联立得到点P的坐标，结合韦达定理，从而可得点P

【解答过程】(1)

设直线l的方程为x=my+p2

由x=my+p2,

所以y1+y2

AB=

当直线l的倾斜角为30°时，m=

AB=2

所以2p=4，即抛物线C的标准方程为

(2)

由（1），得y1+y

因为△PAB的垂心为原点O，所以OA⊥PB

因为kBO=y

所以直线AP的方程为y-y1

同理可得，直线BP的方程为y=

联立方程y=-y

即P-3,3m.所以点P在定直线x

7．已知双曲线C:x2a2

(1)求C的方程；

(2)设A，B是直线x=-9上关于x轴对称的两点，直线y=kx+9与C交于M，N

【解题思路】（1）根据渐近线方程得到ba=13，结合点到直线距离公式求出c=42，利用

（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两