2021学年新教材数学人教A版必修第一册课件：3.3.2-抛物线的简单几何性质.pdfVIP

3.3.2抛物线的简单几何性质

激趣诱思知识点拨

把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物

面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得

车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束,又能发射出较暗

的、照射近距离的光线,这也就是汽车的远光灯和近光灯.

那么它的工作原理是什么?

前照灯由灯泡、反射镜、

配光镜三部分组成

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一、抛物线的简单几何性质

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名师点析1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线

一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来

越扁平.

2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准

线始终与对称轴垂直.

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微判断

(1)抛物线关于顶点对称.()

(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.()

(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.()

答案:(1)×(2)√(3)√

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微思考

抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同?

答案:抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的

离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,

没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭

圆、双曲线为有心圆锥曲线.

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二、直线与抛物线的位置关系

设直线l:ykx+m,抛物线:y22px(p0),将直线方程与抛物线方程联

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立整理成关于x的方程kx+2(km-p)x+m0.

(1)若k≠0,当Δ0时,直线与抛物线相交,有两个交点;

当Δ0时,直线与抛物线相切,有一个切点;

当Δ0时,直线与抛物线相离,没有公共点.

(2)若k0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称

轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物

线相切的必要不充分条件.

特别提醒直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点;

直线与抛物线只有一个公共点时,直线与抛物线不一定相切,也有

可能是相交,这时直线与抛物线的对称轴平行.

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微练习

若直线ykx+2与y2x只有一个公共点,则实数k的值为.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测

抛物线几何性质的应用

例1已知抛物线y28x.

(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量

x的范围;

(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中

|OA||OB|.若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.

思路分析:(1)利用抛物线的对应性质求解;

(2)利用抛物线的对称性及重心的性质求解.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测

解:(1)抛物线y28x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变

量x的范围分别为(0,0),(2,0),直线x-2,x轴,[0,+∞).

(2)如图所示.由|OA||OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测

反思感悟抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛

的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应

用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口

方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.要注意运

用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距

离和到准线的距离相互转化.