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新疆克拉玛依市高级中学2023-2024学年高三最后一模数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.命题:存在实数,对任意实数,使得恒成立;:,为奇函数,则下列命题是真命题的是()
A. B. C. D.
2.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为11,则图中的判断条件可以为()
A. B. C. D.
3.已知函数在区间上恰有四个不同的零点,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
4.两圆和相外切,且,则的最大值为()
A. B.9 C. D.1
5.已知i为虚数单位,则()
A. B. C. D.
6.如图,四边形为正方形,延长至,使得,点在线段上运动.设,则的取值范围是()
A. B. C. D.
7.已知集合,集合,则()
A. B. C. D.
8.给出以下四个命题:
①依次首尾相接的四条线段必共面;
②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面;
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角必相等;
④垂直于同一直线的两条直线必平行.
其中正确命题的个数是()
A.0 B.1 C.2 D.3
9.已知函数是定义在R上的奇函数,且满足,当时,(其中e是自然对数的底数),若,则实数a的值为()
A. B.3 C. D.
10.“”是“函数(为常数)为幂函数”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
11.已知函数,若函数的所有零点依次记为,且,则()
A. B. C. D.
12.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,若低于60分的人数是18人,则该班的学生人数是()
A.45 B.50 C.55 D.60
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.集合,,则_____.
14.等腰直角三角形内有一点P,,,,,则面积为______.
15.已知非零向量的夹角为,且,则______.
16.已知等差数列的前项和为,且,则______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数,.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.
18.(12分)如图,四棱锥中,底面是菱形,对角线交于点为棱的中点,.求证:
(1)平面;
(2)平面平面.
19.(12分)如图,三棱锥中,点,分别为,的中点,且平面平面.
求证:平面;
若,,求证:平面平面.
20.(12分)如图,在三棱柱中,是边长为2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,点在线段上移动(不与重合),是的中点.
(1)当四面体的外接球的表面积为时,证明:.平面
(2)当四面体的体积最大时,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21.(12分)眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改善眼的疲劳,达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图.
(1)若直方图中后三组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以上的人数;
(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系,对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?
(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼习惯,在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
22.(10分)已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线与直线的直角坐标方程;
(2)若曲线与直线交于两点,求的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分
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