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第16题数列函数谓同宗,应用性质法无穷
(全国高考真题)设等差数列的前n项和为,已知且,;
(1)求公差的范围;
(2)该数列前几项的和最大?说明理由.
第(1)问的解法实质是解一个不等式组而第(2)问是探究数列最大项问题或多少项的和最大问题,由条件设法确定前n项为正,或者是否有零项,那么所有非负数项的和最大,若有零项,会有两个和相等并且最大.本题由且确定.
(1)解:根据题意,有整理,得
解之得.
(2)由可知为一个递减数列,因此,在中,必存在一个自然数n,使得,,此时对应的就是中的最大值.
由于于是,从而,因此最大.
∴该数列前6项的和最大.
(2023·陕西西安·模拟预测)
1.已知数列满足:对恒成立,且,其前n项和有最大值,则使得的最大的n的值是(????????)
A.10 B.12 C.15 D.17
第(1)问的解法实质是解一个不等式组而第(2)问是探究数列最大项问题或多少项的和最大问题,由解出n的范围,从而确定此范围中的自然数n,当然第(1)问求出的取值范围用于放缩确定n的值
(1)解:根据题意,有整理,得
解之得.
(2)由(1)易知是递减数列,解关于n的不等式组得
由,可得∴,故n=6.
即最大,该数列前6项的和最大.
(22-23高二·全国·课堂例题)
2.已知数列的前n项和公式为:
(1)求出数列的通项公式,并判断这个数列是否是等差数列;
(2)求的最小值,并求取得最小值时n的值.
第(1)问的解法实质是解一个不等式组而第(2)问是探究数列最大项问题或多少项的和最大问题,根据等差数列前n次和公式,显然是二次函数形式.故可以通过确定前n项和的表达式,利用配方法,确定其最值.
(1)解:根据题意,有整理,得
解之得.
(2)利用等差数列前n项和公式,得
∵,当最小时,最大.
由于,则.
∴当n=6时,最小,因此,最大,该数列前6项的和最大.
(2022·全国·高考真题)
3.记为数列的前n项和.已知.
(1)证明:是等差数列;
(2)若成等比数列,求的最小值.
【点评】
1.数列是自变量为正整数的一类函数,数列的通项公式相当于函数的解析式,我们可以用函数的观点来研究数列,比如研究数列的单调性、周期性,可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性、周期性来实现.函数有最大值最小值的探究,数列也有这方面的问题,可以这样说:数列函数同根同宗.牢牢抓住对其性质的研究也就抓住了根本.
2.等差数列与等比数列是数列学习中两类最基本的数列,等差数列的通项公式可整理为.如果,是常数;如果,是n的一次函数,其前n项和公式可整理为,是关于n的二次函数且常数项为0.在等比数列的通项公式(且)中,和n的关系类似于指数函数,所以等差数列与一次函数、二次函数,等比数列与指数函数有着密切的关系,我们不仅要了解这种关系,而且要能够利用数列与函数的这种关系解决问题.图像是函数的一种重要表示形式,图像法解题当然是解函数问题一种重要的解题策略.有些数列问题借助其对应的图像可以得到直观形象的解答,如等差数列中,,可看作开口向下的抛物线,离对称轴最近的自然数n是取得最大值的n,特别提醒:若对称轴为,则与同时取得最大值,对于二次函数的最值一般需要运用配方法有些函数问题,比如求函数解析式可以借助数列中的相关知识进行求解等.
(22-23高二·全国·课堂例题)
4.已知等差数列的前n项和为,若,公差,则是否存在最大值?若存在,求的最大值及取得最大值时n的值;若不存在,请说明理由.
(22-23高二·全国·随堂练习)
5.已知数列是等差数列,其中,.
(1)求数列的通项公式,并画出它的图象.
(2)数列从哪一项开始小于0.
(3)求数列前n项和的最大值,并求出对应n的值.
(四川·高考真题)
6.已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,,当为何值时,数列的前项和最大?
(2021·全国·高考真题)
7.记是公差不为0的等差数列的前n项和,若.
(1)求数列的通项公式;
(2)求使成立的n的最小值.
(2019·全国·高考真题)
8.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a10,求使得Sn≥an的n的取值范围.
9.在数列中,已知,求中的最大项.
答案第=page11页,共=sectionpages22页
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参考答案:
1.C
【分析】由等差中项性质可得数列为等差数列,再由,其前n项和有最大值可得,即可求
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