高中数学：高二20222023第二学期数学第五周测教师版.docx

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高二2022-2023第二学期数学第五周测教师版

一．选择题（共8小题）

1．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点，两点．若为等边三角形，则△的面积为

A．8 B． C． D．16

【分析】由双曲线的定义，可得，，，，再在△中应用余弦定理得，，的关系，即可求出△的面积．

【解答】解：因为为等边三角形，不妨设，

为双曲线上一点，，

为双曲线上一点，则，，，

在△中应用余弦定理得：，

得，

在双曲线中：，

△的面积为．

故选：．

【点评】本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦与右焦点构成等边三角形，求三角形的面积，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．

2．如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B． C． D．

【分析】先建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合求解即可．

【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

则，0，，，1，，，2，，，0，，

则，，

则，

又，，

则，

即异面直线与所成角的余弦值为，

故选：．

【点评】本题考查了异面直线所成角，重点考查了空间向量的应用，属基础题．

3．圆的圆心坐标和半径分别是

A．，11 B．，11 C．， D．，

【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，即可求解．

【解答】解：圆，即，

故圆心坐标为，半径为．

故选：．

【点评】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．

4．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为

A． B． C． D．

【分析】由已知设圆方程为，代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．

【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为，．

故圆的方程为，再把点代入，求得或1，

故要求的圆的方程为或．

故所求圆的圆心为或；

故圆心到直线的距离或；

故选：．

【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．

5．已知抛物线，，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为

A． B． C． D．

【分析】先由抛物线方程的准线方程，得双曲线的半焦距，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方程解得，接着由，可得，从而得，最后再通过建立方程即可求解．

【解答】解：由题意可得抛物线的准线为，又抛物线的准线过双曲线的左焦点，

，联立，可得，又，

，

，，，

又，

，

，，

双曲线的标准方程为．

故选：．

【点评】本题考查抛物线的性质与双曲线的性质，方程思想，属基础题．

6．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．

【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况，

甲站在两端的情况有种情况，

甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种，

故选：．

【点评】本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．

7．随机变量的分布列为

0

1

则等于

A． B． C． D．

【分析】利用随机变量的分布列的性质直接求解．

【解答】解：由随机变量的分布列得：

．

故选：．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【分析】构造函数f（t）＝，求导可知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以f（t）≤f（e），进而得到a＜b，再利用对数函数的性质可知＞lne2，所以b＜c，从而比较出a，b，c的大小．

【解答】解：令f（t）＝，t＞0，

则f（t）＝，

令f（t）＝0得，1﹣lnt＝0，∴t＝e，

∴当t∈（0，e）时，f（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（e，+∞）时，f（t）＜0，f（t）单调递减，

∴f（t）的极大值为f（e）＝

∴a＝≤，

又∵，∴a＜b，

∵＝≈7.59＞e2，∴＞lne2，

∴5ln＞2，∴，即b＜c，

∴a＜b＜c．

故选：A．

【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了对数函数的性质，属于中档题．

二．多选题（共2小题）

9．已知函数，则

A．有两个极值点

B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心

D．直线是曲线的切线

【分析】对函数求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项；由，可判断选项；假设是曲