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导热问题的数值求解方法
数值解法的基本思想是用空间和时间区域内有限个离散点(称为节点)上温度的近似值,
代替物体内实际的连续温度分布,然后由导热方程和边界条件推导出各节点温度间的相互关
系的代数方程组(称为离散方程),求解此方程组,得到节点上的温度值,此即物体中温度
场的解。只要节点分布的足够稠密,数值解就有足够的精度。求解导热问题的数值方法有有
限差分法及有限元法,近几年又发展了边界元法和有限分析法。数值方法适用于求解各种导
热问题,不管物体的几何形状有多复杂,不管线性或非线性问题,都能使用。由于计算机的
飞速发展,计算技术软件发展也很快,数值方法的的地位越来越重要。
1数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立
一、解法的基本思路
1、基本思路:数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见:
1)物理模型简化成数学模型是基础;
2)建立节点离散方程是关键;
3)一般情况微分方程中,某一变量在某一坐标方向所
需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导
数的阶数。
二、稳态导热中位于计算区域内部的节点离散方程的
建立方法
1、基本方法
方法:①泰勒级数展开法;②热平衡法。
1)泰勒级数展开法
如图4-3所示,以节点(m,n)处的二阶偏导数为例,
对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t对(m,n)点的泰
勒级数展开式:
对(m+1,n):
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(a)
对(m-1,n):
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