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椭圆中常见问题

求直线方程、标准方程、离心率、弦长等常规问题〔“常规求值”问题需要找等式〕；

知识点：

椭圆上，是椭圆的两个焦点，B为椭圆上顶点，，求椭圆离心率.

椭圆上，是椭圆的两个焦点，B为椭圆上顶点，为等腰直角三角形，求椭圆离心率.

椭圆上，是椭圆的两个焦点，假设在椭圆上存在点使，求椭圆离心率的范围.

椭圆的长轴两端点为、，如果椭圆上存在点，使求椭圆离心率的范围。

椭圆上，是椭圆的两个焦点，假设在椭圆上存在点使，求椭圆离心率的范围.

6、椭圆.过点〔2，—1〕且方向向量为的直线L交椭圆与A、B两点。

⑴假设线段AB的中点为M，求直线OM的斜率〔用表示〕；

⑵假设椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；

⑶在⑵的条件下，设椭圆的左焦点为，求的面积。

二．最值问题的常用方法：几何法、配方法〔转化为二次函数的最值〕、三角代换法〔转化为三角函数的最值〕、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。

7、椭圆C的中心在原点，焦点、在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且的最大值为90°，直线l过左焦点与椭圆交于A．B两点，△的面积最大值为12．

〔1〕求椭圆C的离心率；

〔2〕求椭圆C的方程。

【解析】：〔1〕设,对由余弦定理,得

，解出

〔2〕考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：

i)当k存在时，设l的方程为

椭圆方程为由得

于是椭圆方程可转化为将①代入②，消去得,

整理为的一元二次方程，得.

那么、是上述方程的两根．且，，

AB边上的高

ii)当k不存在时，把直线代入椭圆方程得

由①②知S的最大值为由题意得=12所以故当面积最大时椭圆的方程为：

练习：椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．

〔Ⅰ〕求椭圆的方程；

〔Ⅱ〕设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．．

三、“是否存在”、过定点、定值问题的解题策略：

“是否存在”问题方法：当作存在去求，假设不存在那么计算时自然会无解；

证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。

8、如图，椭圆C：的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形OAMB是矩形〔O为坐标原点〕，点E，P分别是线段OA，MA的中点．

〔1〕求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．

OMBAEPDxy〔2〕过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S〔不同于B点〕，且它们的斜率k1，k2满足

O

M

B

A

E

P

D

x

y

证明：〔1〕由题意，A〔4，0〕，B〔0，2〕，D〔0，﹣2〕，E〔2，0〕，P〔4，1〕，那么直线DE的方程为y=x﹣2，直线BP的方程为

联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为

∵椭圆C：，∴满足方程，∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．

〔2〕直线BR的方程为y=k1x+2

解方程组，可得即,得或

∴R的坐标为∵k1?k2=，∴直线BS的斜率,

∴直线BS的方程为,

把用代入得S的坐标为∴R，S关于原点O对称,

∴R，O，S三点共线∴直线SR过定点，定点的坐标为O〔0，0〕．

9、如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8．

〔Ⅰ〕求椭圆E的方程．

〔Ⅱ〕设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q．

试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？假设存在，

求出点M的坐标；假设不存在，说明理由．

解：(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a

所以4a＝8，a＝2.又因为e＝eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝1，所以b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3).

故椭圆E的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.

(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，

即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2

此时x0＝－eq\f(4km,4k2＋3)＝－eq\f(4k,m)，y0＝kx0＋m＝eq\f(3,m)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\v