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宣城市重点中学2024年高三下学期一模考试数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知为等比数列,,,则()
A.9 B.-9 C. D.
2.若函数有且仅有一个零点,则实数的值为()
A. B. C. D.
3.如图所示的“数字塔”有以下规律:每一层最左与最右的数字均为2,除此之外每个数字均为其两肩的数字之积,则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()
A. B. C. D.
4.对于定义在上的函数,若下列说法中有且仅有一个是错误的,则错误的一个是()
A.在上是减函数 B.在上是增函数
C.不是函数的最小值 D.对于,都有
5.已知,则的取值范围是()
A.[0,1] B. C.[1,2] D.[0,2]
6.已知的展开式中的常数项为8,则实数()
A.2 B.-2 C.-3 D.3
7.从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回的摸取5次,设摸得白球数为,已知,则
A. B. C. D.
8.已知命题,那么为()
A. B.
C. D.
9.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策,某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图,其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户,则下列说法错误的是()
A.该市总有15000户低收入家庭
B.在该市从业人员中,低收入家庭共有1800户
C.在该市无业人员中,低收入家庭有4350户
D.在该市大于18岁在读学生中,低收入家庭有800户
10.三棱锥中,侧棱底面,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为()
A. B. C. D.
11.在区间上随机取一个数,使直线与圆相交的概率为()
A. B. C. D.
12.已知,则,不可能满足的关系是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量,,,若,则______.
14.我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”设人数、物价分别为、,满足,则_____,_____.
15.已知数列满足,且,则______.
16.记为数列的前项和.若,则______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在平面直角坐标系中,曲线,曲线的参数方程为
(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线、的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,射线与曲线,分别交于、两点(异于极点),定点,求的面积
18.(12分)如图,是正方形,点在以为直径的半圆弧上(不与,重合),为线段的中点,现将正方形沿折起,使得平面平面.
(1)证明:平面.
(2)三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.
19.(12分)已知函数.
(1)若,求不等式的解集;
(2)若“,”为假命题,求的取值范围.
20.(12分)如图,已知四棱锥,底面为边长为2的菱形,平面,,是的中点,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若为上的动点,求与平面所成最大角的正切值.
21.(12分)设点分别是椭圆的左,右焦点,为椭圆上任意一点,且的最小值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,直线与轴交于点,过点且斜率的直线与椭圆交于两点,为线段的中点,直线交直线于点,证明:直线.
22.(10分)已知函数()在定义域内有两个不同的极值点.
(1)求实数的取值范围;
(2)若有两个不同的极值点,,且,若不等式恒成立.求正实数的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.
【详解】
∵,∴,又,可解得或
设等比数列的公比为,则
当时,,∴;
当时,,∴.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.
2、D
【解析】
推导出函数的图象关于直线对称,由题意得出,进而可求得实数的值,并对的值进行检验,即可得出结果.
【详解】
,
则,
,
,所以,函数的图象关于直线对称.
若函数的零点不为,则该函数的零点必成对出现,不合题意.
所以,,即,解得或.
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