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课下巩固培优卷(四十二)

【A/基础巩固题组】

1．已知椭圆的焦点在x轴上，右焦点到短轴的上端点的距离为4，右焦点到左顶点的距离为6，则椭圆的标准方程是()

A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1

C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1

解析：设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，

由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,a＋c＝6，))解得a＝4，c＝2，

∴b2＝a2－c2＝12．因此椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1．

答案：C

2．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab0))过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))，椭圆E的离心率为eq\f(\r(2),2)，则椭圆E的焦距为()

A．1 B．2

C．eq\r(2) D．2eq\r(2)

解析：因为椭圆E的离心率为eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)．

不妨设a＝2x，则c＝eq\r(2)x，b2＝2x2．

因为椭圆过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))，所以eq\f(1,2a2)＋eq\f(3,4b2)＝1，即eq\f(1,8x2)＋eq\f(3,8x2)＝1，解得x＝eq\f(\r(2),2)．

所以焦距为2c＝2eq\r(2)x＝2．

答案：B

3．(2021·河北保定二模)已知F1、F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab0))的两个焦点，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))∶|AB|∶eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF1))＝3∶4∶5，则该椭圆的离心率为()

A．eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)

C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\f(\r(2),2)

解析：如图所示，设eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))＝3t，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝4t，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF1))＝5t，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))eq\s\up12(2)＝

eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF1))eq\s\up12(2)，

所以∠F1AF2＝90°，

由椭圆定义可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF1))＝12t＝4a，∴t＝eq\f(a,3)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))＝3t＝a，

所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝2a－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))＝a，

所以△AF1F2为等腰直角三角形，可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))eq\s\up12(2)，∴2a2＝4c2，

所以该椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)．

答案：