高中数学：专题三角函数与解三角形教师版.docx

专题五三角函数与解三角形

【题型特点】

三角函数是高中数学的核心内容之一，也是历年高考考查的热点和重点内容，就近三年的全国卷高考真题来看，三角函数试题总体稳定，既考查学生对基本概念基本公式的理解和应用，又考察了化繁为简的运算能力，以及数形结合转化与化归等数学思维方法。试题着眼于考查学生的数学运算，直观想象，逻辑推理等，数学核心素养突出，基础性通过与其他知识生活实际的密切联系，注重对知识的综合性和应用性的考察。

【命题趋势】

（1）三角函数的图像和性质；（2）图像变换；（3）三角恒等变换求值；（4）解三角形。由于三角函数与各个部分都有相关的联系，相关交汇试题应运而生，涉及与新定义、新情境相结合考查三角函数性质，与向量、其他基本初等函数相结合或者以实际问题为背景的解三角形问题也是命题亮点。

【真题再现】

1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）下列区间中，函数单调递增的区间是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】因为函数的单调递增区间为，

对于函数，由，

解得，

取，可得函数的一个单调递增区间为，

则，，A选项满足条件，B不满足条件；

取，可得函数的一个单调递增区间为，

且，，CD选项均不满足条件.

故选：A.

2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若，则（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

3．（多选题）（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知为坐标原点，点，，，，则（）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】A：，，所以，，故，正确；

B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；

C：由题意得：，

，正确；

D：由题意得：，

，故一般来说故错误；

故选：AC

4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）由题设，，由正弦定理知：，即，

∴，又，

∴，得证.

（2）由题意知：，

∴，同理，

∵，

∴，整理得，又，

∴，整理得，解得或，

由余弦定理知：，

当时，不合题意；当时，；

综上，.

一、三角函数的图像与性质

【考情分析】

1.高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，常与三角恒等变换交汇命题.

2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．

考点一：三角函数的定义、诱导公式及基本关系

重点热点

1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

2．诱导公式：在eq\f(kπ,2)＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

例1(1)已知角α的终边上一点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos\f(5π,6)))，则角α的最小正值为()

A.eq\f(5π,6)B.eq\f(11π,6)C.eq\f(5π,3)D.eq\f(2π,3)

【答案】C

【解析】角α的终边上一点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos\f(5π,6)))，即为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，在第四象限，且满足cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，故α的最小正值为eq\f(5π,3)，故选C.

(2)若sinθ＝eq\r(5)cos(2π－θ)，则tan2θ等于()

A．－eq\f(\r(5),3)B.eq\f(\r(5),3)C．－eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(5),2)

【答案】C

【解析】∵sinθ＝eq\r(5)cos(2π－θ)，∴sinθ＝eq\r(5)cosθ，得tanθ＝eq\r(5)，

∴tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝251?52＝－eq\f(\r(5),2).

二级结论(1)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinααtanα.

(2)由(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可知一求二．

考点二：三角函数的图象与解析式

重点热点

三角函数图象的变换

例2（1）函数的图象大致为

A．