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课下巩固培优卷(三十二)

【A/基础巩固题组】

1．已知四棱锥P-ABCD底面为边长为2的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为eq\f(4\r(3),3)，则它的表面积为()

A．8 B．12

C．4＋8eq\r(3) D．20

解析：

如图，设底面中心为O，则VP-ABCD＝eq\f(1,3)×2×2×PO＝eq\f(4\r(3),3)，可得PO＝eq\r(3)，

因为底面为正方形，则AO＝eq\r(2)，∴PA＝eq\r(2＋3)＝eq\r(5)，

则△PAB的边AB边上的高为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)))\s\up12(2)－12)＝2，

则该四棱锥的表面积为2×2＋4×eq\f(1,2)×2×2＝12．

答案：B

2．(2021·河北唐山模拟)已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为eq\r(2)，则此三棱锥的外接球的表面积为()

A．π B．3π

C．6π D．9π

解析：以正三棱锥三条互相垂直的棱为棱，补成一个正方体，则正三棱锥的外接球即是棱长为eq\r(2)的正方体的外接球，所以外接球的直径2R＝eq\r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝eq\r(6)，

得4R2＝6，外接球的表面积4πR2＝6π．

答案：C

3．纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，有着广大宽阔的直线，看起来就像机场跑道一样，描绘的大多是动植物，位于南美洲西部的秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年的谜局：究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”．在这些图案中，最清晰的图案之一是一只身长50米的大蜘蛛(如图)，据说这是一种学名为“节腹目”的蜘蛛的形状．这种蜘蛛十分罕见，只有亚马逊河雨林中最偏远隐秘的地区才能找到．现用视角为30°的摄像头(注：当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角)在该蜘蛛的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是()

A．50米 B．25(2eq\r(2)＋eq\r(6))米

C．50(2＋eq\r(3))米 D．50(2eq\r(2)＋eq\r(6))米

解析：

由题设知：要使整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则拍摄区域的圆的直径最小为2r＝50eq\r(2)，圆锥的截面图如图：O为底面圆的圆心，∠PBO＝90°－15°＝75°，在△POB中tan∠PBO＝eq\f(PO,OB)＝eq\f(PO,25\r(2))＝2＋eq\r(3)，∴PO＝25(2eq\r(2)＋eq\r(6))米，故选B．

答案：B

4．已知三棱台ABC-A1B1C1中，三棱锥A-A1B1C1的体积为4，三棱锥A1-ABC的体积为8，

A．12＋3eq\r(3) B．12＋4eq\r(2)

C．12＋4eq\r(3) D．12＋4eq\r(7)

解析：设S△ABC＝S1，S△A1B1C1＝S2，棱台高为h，由已知VA-A1B1C1＝eq\f(1,3)S2h＝4，得S2＝eq\f(12,h)，

VA1-ABC＝eq\f(1,3)S1h＝8，得S1＝eq\f(24,h)，

三棱台ABC-A1B1C1的体积为V＝eq\f(1,3)h(S1＋S2＋eq\r(S1S2))＝eq\f(1,3)h

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,h)＋\f(24,h)＋\r(\f(12×24,h2))))＝12＋4eq\r(2)．

答案：B

5．(多选)(2021·河北沧州三模)三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部为棱长是3

A．该玉琮的体积为18＋eq\f(3π,4)(cm3)

B．该玉琮的体积为27－eq\f(7π,4)(cm3)

C．该玉琮的表面积为54＋π(cm2)

D．该玉琮的表面积为54＋9π(cm2)

解析：由图可知，组合体的体积V＝π×4×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\