讲-无约束优化问题数值解法工程机械设计理论与方法.pptx

工程机械设计理论及方法第9讲无约束优化问题的数值解法2

黄金分割法111 设f(X1)f(X2)，则：

黄金分割法222 设f(X2)f(X1)，则：

例用黄金分割法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点，

给定x0=0,h=1,ε=0.2。解：1）确定初始区间x1=x0=0,f1=f(x1)=2x2=x0+h=0+1=1,f2=f(x2)=1由于f1f2,应在原方向继续向前探测。x3=x2+h=1+1=2,f3=f(x3)=18由于f2f3,可知初始区间已经找到，即[a,b]=[x1,x2]=[0,2]

2）用黄金分割法缩小区间第一次缩小区间：x1=0+0.382X(2-0)=0.764,f1=0.282x2=0+0.618X(2-0)=1.236,f2=2.72f1f2,新区间[a,b]=[a,x2]=[0,1.236],b-a0.2

第二次缩小区间：令x2=x1=0.764,f2=f1=0.282x1=0+0.382X(1.236-0)=0.472,f1=0.317由于f1f2,故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.472,1.236]因为b-a=1.236-0.472=0.7640.2,应继续缩小区间。第三次缩小区间：令x1=x2=0.764,f1=f2=0.282x2=0.472+0.618X(1.236-0.472)=0.944,f2=0.747由于f1f2,故新区间[a,b]=[a,x2]=[0.472,0.944]因为b-a=0.944-0.472=0.4720.2,应继续缩小区间。

第四次缩小区间：令x2=x1=0.764,f2=f1=0.282x1=0.472+0.382X(0.944-0.472)=0.652,f1=0.223由于f1f2,故新区间[a,b]=[a,x2]=[0.472,0.764]因为b-a=0.764-0.472=0.2920.2,应继续缩小区间。

第五次缩小区间：令x2=x1=0.652,f2=f1=0.223x1=0.472+0.382X(0.764-0.472)=0.584,f1=0.262由于f1f2,故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.584,0.764]因为b-a=0.764-0.584=0.180.2,停止迭代。极小点与极小值：x*=0.5X(0.584+0.764)=0.674,f(x*)=0.222

在搜索区间内[a,b]适当插入两点，将区间分成三段；黄金分割法黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单谷函数求极小值问题。对函数除要求“单谷”外不作其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面相当广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法。利用区间消去法，使搜索区间缩小，通过迭代计算，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。

9991.基本原理：2.步骤：二次插值法（抛物线法）

1010二次插值法（抛物线法）102.步骤(续)：3.结果分析：

二次插值法（抛物线法）12

13/15例1用二次插值法求的最优解,已知初始区间为[2，8]，取终止迭代点距精度。解：（1）给定初始插值结点（2）计算插值函数极小点

14/15（3）缩短搜索区间因，（属于图（c）的情况），故开关返回步骤（3）计算得

15/15（4）判断迭代终止条件满足迭代终止条件，得最优解对于二次函数用二次插值法求优，只需一次插值计算即可；对于非二次函数，随着区间的缩短使函数的二次性态加强，因而收敛也是较快的。

例用二次插值法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点，

给定x0=0,ε=0.2。解1）确定初始区间初始区间[a,b]=[0,2],中间点x2=1。2）用二次插值法逼近极小点相邻三点的函数值:x1=0,x2