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云南省玉溪市红塔区2023-2024学年高三下学期第五次调研考试数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.的内角的对边分别为,若,则内角()
A. B. C. D.
2.在中,内角所对的边分别为,若依次成等差数列,则()
A.依次成等差数列 B.依次成等差数列
C.依次成等差数列 D.依次成等差数列
3.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,直线与抛物线交于,两点,若,则为()
A. B.40 C.16 D.
4.设则以线段为直径的圆的方程是()
A. B.
C. D.
5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(即质数)的和”,如,.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是()
A. B. C. D.以上都不对
6.如图,在矩形中的曲线分别是,的一部分,,,在矩形内随机取一点,若此点取自阴影部分的概率为,取自非阴影部分的概率为,则()
A. B. C. D.大小关系不能确定
7.已知向量,则是的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
8.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查,利用列联表,由计算得,参照下表:
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
得到正确结论是()
A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星无关”
D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星有关”
9.设等差数列的前n项和为,若,则()
A. B. C.7 D.2
10.在一个数列中,如果,都有(为常数),那么这个数列叫做等积数列,叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列,且,,公积为,则()
A. B. C. D.
11.已知为定义在上的偶函数,当时,,则()
A. B. C. D.
12.已知函数,则函数的零点所在区间为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.复数(其中i为虚数单位)的共轭复数为________.
14.已知三棱锥中,,,,且二面角的大小为,则三棱锥外接球的表面积为__________.
15.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75;则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________;经过前后两次烧制后,合格工艺品的件数为,则随机变量的期望为________.
16.不等式的解集为________
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知四棱锥中,底面为等腰梯形,,,,丄底面.
(1)证明:平面平面;
(2)过的平面交于点,若平面把四棱锥分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.
18.(12分)己知函数.
(1)当时,求证:;
(2)若函数,求证:函数存在极小值.
19.(12分)直线与抛物线相交于,两点,且,若,到轴距离的乘积为.
(1)求的方程;
(2)设点为抛物线的焦点,当面积最小时,求直线的方程.
20.(12分)已知函数(),且只有一个零点.
(1)求实数a的值;
(2)若,且,证明:.
21.(12分)一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本(万元)与该月产量(万件)之间有如下一组数据:
1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
1.59
1.68
1.80
1.87
2.25
2.37
2.40
2.55
2.64
2.75
2.92
3.03
3.14
3.26
(1)通过画散点图,发现可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;
(2)①建立月总成本与月产量之间的回归方程;②通过建立的关于的回归方程,估计某月产量为1.
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