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GCT考点精讲班-数学
大学数学-行列式
行列式—内容综述
一、行列式的概念
1．一阶行列式的定义：
2．二阶行列式的定义：
3．三阶行列式的定义：
4．余子式与代数余子式：在阶行列式中，划去元素所在的第行第列，剩余元素按原有位置构成的阶行列式，称为的余子式，记为．
令，称为的代数余子式．
5．阶行列式的定义：
二、行列式的性质
1．转置：转置以后行列式值不变．（凡是对行成立的性质，对列也成立）
2．行行互换：任意两行互换，行列式值变号．（如果某两行相同，则行列式值为零）
3．行因子：行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外．（如果某行全为零，则行列式为零；如果某两行成比例，则行列式为零）
4．按行拆开：
5．一行的倍数加到另一行,行列式不变值．
三、行列式展开性质
行列式的任意一行（列）元素与各自的代数余子式乘积之和等于行列式的值．
行列式的任意一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于零．
四、特殊行列式
对角行列式，上（下）三角行列式，斜对角行列式
五、行列式的计算
常用计算行列式的方法有：用定义，（利用性质）消零后按行（列）展开，化成三角行列式，拆项等．
六、克莱姆法则：
行列式—典型例题
例9-1．计算．
解：．
例9-2．计算．
解：
例9-3．（2005）设是方程的三个根，则行列式的值等于（）．
A．B．C．D．
答：B．
分析：根据题意可知
，
所以，从而．
故正确选项为B．
例9-4．已知，求的值．
解：
．
例9-5．（2009）不恒为零的函数（）
A．没有零点 B．至多有个零点 C．恰有个零点 D．恰有个零点
【分析】本题是线性代数中行列式部分的问题，考查了行列式的性质．
，
所以至多有一个零点．正确选项为B．
例9-6．设行列式的代数余子式，求的值．
解：因为，所以．
例9-7．设行列式，则的第行各元素的代数余子式的代数和的值为[]
(A) (B) (C) (D)
解：
例9-8．当[]时，方程组有非零解．
(A) (B) (C) (D)
解：由得．
例9-9．求方程组中的值．
解：，，．
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